Actualmente estoy aprendiendo mecánica cuántica en un nivel ligeramente avanzado. Tengo curiosidad por saber si existen Operadores Lineales (Mapas Lineales) en el Espacio de Hilbert (de dimensión finita) que no sean isomorfos con Matrices. En ese caso, ¿hay otras representaciones que podamos elegir?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?El espacio de operadores lineales sobre un $n$ -espacio vectorial de dimensiones $V$ sobre un campo $F$ es siempre isomorfo al espacio de $n \times n$ matrices sobre $F$ .
Es bastante fácil ver que cualquier matriz es un mapa lineal de $V$ a $V$ -- Sólo hay que multiplicar a la izquierda la representación vectorial de la columna de entrada por la matriz. Para la otra dirección, elija una base $\{\hat{e}_i\}$ para $V$ . Deje que el $k$ -ésima columna de una matriz $M$ sea la representación vectorial de columna de $\Omega(\hat{e}_k)$ , donde $\Omega$ es su operador. Eso es, $M_{ik} = \langle \hat{e}_i \vert \Omega \hat{e}_k\rangle$ .
