Aquí está una integral corrí a través de la que parece ser difícil.
A mí me parece que he visto integrales como esto antes. He mirado en el sitio, pero no vi nada como esto.
$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\arctan(x^{3})}{e^{2\pi x}-1}\,\mathrm dx=\frac{1}{4}\ln(2\pi)-\frac{\pi}{4\sqrt{3}}-\frac{1}{2}\ln(1+e^{-\pi\sqrt{3}})$$
Me preguntaba si es posible hacer esto con residuos/cortes de ramas?.
No he visto muchas de las integrales con funciones trigonométricas inversas hecho uso de los residuos. Tal vez hay una razón para eso :)
Me doy cuenta de que $\arctan(z^{3})=\frac{i}{2}\ln\left(\left|\frac{z^{3}-i}{z^{3}+i}\right|\right)-\frac{1}{2}\operatorname{Arg}\left(\frac{z^{3}-i}{z^{3}+i}\right)$.
A continuación, los ceros de $z^{3}+i$ $z^{3}-i$ tendría que ser tratados, así como los de $e^{2\pi z}-1=0$.
Pero, no estoy seguro de cómo proceder...si es posible.
Además de utilizar los contornos, cualquier método inteligente sería bueno ver y apreciar.
Gracias a todos.
