Lema :
Si $f \in C([a,b])$ y $\int_a^b f(x) h(x) dx=0 \ \forall h \in C^2([a,b])$ con $h(a)=h(b)=0$ entonces $f(x)=0 \ \forall x \in [a,b]$ .
Prueba del lema :
Supongamos que existe un $x_0 \in (a,b)$ tal que $f(x_0) \neq 0$ por ejemplo, sin pérdida de generalidad, suponemos que $f(x_0)>0$ . Debido a la continuidad existe un intervalo $[x_1, x_2] \subset (a,b)$ tal que $x_0 \in (x_1, x_2)$ y $f(x)>0 \ \forall x \in (x_1, x_2)$ .
Definimos la función $g(x)=\left\{\begin{matrix} (x_2-x)^3 (x-x_1)^3 & , x \in (x_1, x_2)\\ \\ 0 & , x \in [a,b] \setminus{(x_1,x_2)} \end{matrix}\right.$ .
Entonces $g \in C^2([a,b])$ y $g(a)=g(b)=0$ . De la hipótesis tenemos:
$$\int_a^b f(x)g(x) dx=0$$
Pero $\int_a^b f(x)g(x) dx= \int_{x_1}^{x_2} f(x)g(x) dx>0$ contradicción.
En primer lugar, ¿por qué decimos que hay un intervalo $[x_1, x_2] \subset (a,b)$ tal que $x_0 \in (x_1, x_2)$ y $f(x)>0 \forall x \in (x_1, x_2)$ ? ¿Por qué no elegimos el intervalo cerrado $[x_1, x_2]$ ?
También por qué se sostiene que $\int_a^b f(x) g(x) dx= \int_{x_1}^{x_2} f(x) g(x) dx$ ?
Además, el profesor nos dijo que no podíamos tomar la función
$g(x)=\left\{\begin{matrix} (x_2-x)^2 (x-x_1)^2 & , x \in (x_1, x_2)\\ \\ 0 & , x \in [a,b] \setminus{(x_1,x_2)} \end{matrix}\right.$
pero los poderes tanto de $(x_2-x), (x-x_1)$ tiene que ser mayor o igual que $3$ . ¿Por qué es así?
