Dejemos que $\mathfrak{g}_1\subset \mathfrak{g}_2$ sea una incrustación de álgebra de Lie. Supongamos que ambas son semisimples. Por ejemplo, tomemos la incrustación diagonal estándar $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})\subset \mathfrak{sl}(3, \mathbb{C})$ . Esto lleva a una incrustación $U(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))\subset U(\mathfrak{sl}(3, \mathbb{C}))$ de las correspondientes álgebras envolventes. Consideremos sus centros $Z(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})),Z(\mathfrak{sl}(3, \mathbb{C}))$ . Es relativamente fácil ver que bajo la incrustación anterior tenemos que $Z(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C}))\cap Z(\mathfrak{sl}(3, \mathbb{C})) = \mathbb{C}$ . ¿Hay alguna forma razonable de "conectar" estos centros? Permítanme ser un poco más claro. Por ejemplo, podemos pasar la misma pregunta a las álgebras simétricas de $\mathfrak{g}_1,\mathfrak{g}_2$ . Aquí tenemos $S(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})^*)^{SL(2,\mathbb{C})}$ el álgebra de $SL(2,\mathbb{C})$ -funciones invariantes en $\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})$ y $S(\mathfrak{sl}(3, \mathbb{C})^{\*} )^{SL(3,\mathbb{C})}$ . Existe una incrustación natural de $S(\mathfrak{sl}(3, \mathbb{C})^{\*} )^{SL(3,\mathbb{C})}$ en $S(\mathfrak{sl}(3, \mathbb{C})^{\*} )^{SL(2,\mathbb{C})}$ y una proyección de $S(\mathfrak{sl}(3, \mathbb{C})^{\*} )^{SL(2,\mathbb{C})}$ en $S(\mathfrak{sl}(2, \mathbb{C})^{\*} )^{SL(2,\mathbb{C})}$ dado por la restricción. ¿Existen resultados que puedan describir cómo se comportan estos centros bajo restricciones?
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Andrei Okounkov, Grigori Olshanski http://arxiv.org/abs/q-alg/9605042
Sección 10: "Propiedad de coherencia de los inmanentes cuánticos inmanentes y polinomios de Schur desplazados"
En particular, las fórmulas 10.4, 10.5 - discuten los "operadores de promedio" Z(U(gl(n)) -> ZU(gl(N)) , n < N
y posteriormente demostrar cierta propiedad "buena" (de coherencia) de los generadores especiales de los centros Z(U(gl(k)) que ha sido estudiada por los autores y M. Nazarov.
Espero que esto ayude...
Lo que es muy interesante para mí personalmente - es tratar de generalizar tales cosas al caso de las álgebras de bucle Z(U( \hat gl)). Aquí se han construido ciertos elementos "buenos" de los centros por La fórmula de Talalaev , es natural esperar que la historia de Okounkov-Olshanski-... pueda generalizarse al caso del álgebra de bucles
Dudo que se consigan buenas relaciones entre los centros de las álgebras envolventes universales, si se observan las incrustaciones para pares arbitrarios de álgebras de Lie semisimples; sin embargo, tal vez haya conexiones sutiles en casos especiales. Por un lado, los centros y las álgebras de funciones polinómicas invariantes para una determinada álgebra de Lie semisimple están relacionados sólo indirectamente en el trabajo de Chevalley y Harish-Chandra. Además, las incrustaciones en álgebras lineales especiales de rango no agrupado se producen cuando se empieza con un álgebra de Lie semisimple fija y se consideran todas sus representaciones irreducibles fieles. Pero los respectivos centros de las álgebras envolventes menores y mayores son isomorfos a álgebras polinómicas en el número de indeterminados dados por los respectivos rangos.
Si hay una forma útil de relacionar los centros, debería ser visible en las incrustaciones diagonales para las álgebras de Lie de pequeño rango como la que describes. Pero no es visible inmediatamente para mí.
P.D. Una etiqueta de álgebras mentirosas sería útil.
