Encontrar el límite de $f(x)$ tiende al infinito

Question

¿Cómo se encuentra este límite?

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[5]{x^5-x^4} -x$$

Me dieron una pista para usar la regla de L'Hospital.

Lo hice así:

ACTUALIZACIÓN 1: $$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[5]{x^5-x^4} -x &= \lim_{x \rightarrow \infty} x\begin{pmatrix}\sqrt[5]{1-\frac 1 x} -1\end{pmatrix}\\ &= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[5]{1-\frac 1 x} -1}{\frac1x} \end{align*}$$

Aplicando L' Hospital's, $$\begin{align*} \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[5]{1-\frac 1 x} -1}{\frac1x}&= \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{0.2\begin{pmatrix}1-\frac 1 x\end{pmatrix}^{-0.8}\begin{pmatrix}-x^{-2}\end{pmatrix}(-1)} {\begin{pmatrix}-x^{-2}\end{pmatrix}}\\ &= -0.2 \end{align*}$$

Sin embargo, la respuesta es $0.2$ por lo que me gustaría aclarar el uso correcto de L'Hospital's

Answer 1

Tienes la respuesta, pero me gustaría anotar algo diferente. Veo que estás haciendo derivaciones, así que estoy escribiendo una respuesta basada en ello. Decimos que la función $\alpha(x)$ es muy pequeño en $x\to a$ cuando $$\lim\alpha(x)\to 0$$ Podemos demostrar mediante la expansión de Taylor que $\sqrt[n]{1+\alpha(x)}-1\sim\frac{\alpha(x)}{n}$ . Así que $$\frac{\sqrt[5]{1-k}-1}k~\sim~\frac{-k/5}{k}=-1/5$$ cuando $k\to 0$ .

Answer 2

Tu ejercicio está bien y ya has mostrado todos los pasos. $$\sqrt[5]{x^5 - x^4} < x$$ por lo que un límite negativo es más probable que un límite positivo :)

Answer 3

Si no estamos obligados a usar la regla de L'Hospital,

$$\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt[5]{x^5-x^4} -x$$ $$=\lim_{y\to0}\frac{(1-y)^\frac15-1}y$$

$$=\lim_{y\to0}\frac{(1-y)-1}{y\{(1-y)^\frac45+(1-y)^\frac35+(1-y)^\frac25+(1-y)^\frac15+1\}}$$ como $a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots+a+1)$

$$=\frac{-1}{1+1+1+1+1}\text { as } y\to0\implies y\ne0$$

Answer 4

Sí, estás utilizando la regla de L'Hopital correctamente, y la respuesta es $-\frac{1}{5}$ . Los pasos son correctos y he comprobado dos veces la respuesta: http://www.wolframalpha.com/share/clip?f=d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427epe5q2eamff

No es gran cosa, pero tenga en cuenta que "L'Hopital" no tiene una "s".