¿Cómo probar este ejercicio?
Dejemos que $f$ sea una función continua de $\mathbb R^n$ a $\mathbb R^m$ para que $f^{-1}(B)$ es compacto en $\mathbb R^n$ para todos los compactos $B$ en $\mathbb R^m$ . Demostrar que $f(A)$ es un conjunto cerrado en $\mathbb R^m$ para todo conjunto cerrado $A$ en $\mathbb R^n$ .
La pregunta ha sido modificada desde entonces. Los dos párrafos siguientes ya no son relevantes.
La imagen continua de un conjunto compacto es compacta independientemente de su propiedad adicional.
La prueba es la siguiente. Supongamos que $\mathcal{C}$ es una cobertura de $f(A)$ por conjuntos abiertos. Entonces $f^{-1}(X)$ para cualquier $X \in \mathcal{C}$ está abierto, ya que $f$ es continua. Así, la imagen inversa de todo conjunto abierto en $\mathcal{A}$ es una cobertura abierta de $A$ . Desde $A$ es compacto, un número finito de estos cubre $A$ . Por lo tanto, un número finito de la cobertura original $f(A)$ .
A la vista de los comentarios, la pregunta se ha formulado de forma incorrecta. Dada una función continua con las propiedades indicadas en la pregunta, demostraré que $f$ es un mapa cerrado. Nótese que estoy demostrando que un mapa propio entre espacios euclidianos es un mapa cerrado.
Dejemos que $A$ sea cerrado. Sea $x$ sea un punto límite de $f(A)$ . Como estamos en $\mathbb{R}^m$ podemos elegir una bola $U$ alrededor de $x$ tal que su cierre $\bar{U}$ es compacto. Por lo tanto, $f^{-1}(\bar{U})$ es compacto. Los subconjuntos compactos del espacio euclidiano son cerrados. Por lo tanto, $A \cap f^{-1}(\bar{U})$ es compacto ya que los subconjuntos cercanos de conjuntos compactos son compactos. Como se ha mencionado anteriormente, la imagen continua de los conjuntos compactos es compacta. Por lo tanto, $f(A \cap f^{-1}(\bar{U}))$ es compacto y, por tanto, cerrado en $\mathbb{R}^m$ . Dejemos que $Z = f(A \cap f^{-1}(\bar{U}))$ . Por lo tanto, $Z$ está cerrado. $x$ es un punto límite de f(A) y $\bar{U}$ contiene $x$ por lo que x es un punto límite de $Z$ . Desde, $Z$ está cerrado, $x \in Z \subset f(A)$ . Así, $x \in f(A)$ . $f(A)$ contiene todos sus puntos límites; por lo tanto, es cerrado.
Supongamos que $A$ es cerrado y que tenemos una secuencia de Cauchy $y_n\in f(A)$ basta con demostrar que $y_n$ converge a un punto de $f(A)$ (para demostrar que $f(A)$ está cerrado).
Una pista:
Demuestre que existe una secuencia de Cauchy $x_n\in A$ tal que $f(x_n)=y_n$ .
¿Qué podemos decir sobre $f(\lim x_n)$ ?
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