Minimizar el área de un triángulo

Question

Considere la función $g(x)=1-x^2$ Para $x>0$ la línea tangente a $g(x)$ forma un triángulo rectángulo con el eje de coordenadas. Encuentra el punto de la curva tal que el triángulo rectángulo tenga la menor área posible.

Cuando intento minimizar la derivada todo lo que obtengo es X=0 (suponiendo que planteo bien el problema). ¿Alguna idea?

Answer 1

Primero calcula la derivada de $g(x)$ esto daría $g'(x)=-2x$ . A partir de aquí veremos la línea que pasa por un punto $(x_0,y_0)$ en $g$ y calcular la fórmula de la línea. Si tenemos la línea, podemos calcular dónde se cruza con la $x$ -eje y $y$ -eje. Y así podemos calcular el área del triángulo en términos de $x$ . La minimización de esta función daría la respuesta requerida.

Answer 2

EDITAR 1: Función reetiquetada de $f$ a $g$ ya que este último se utilizó en el problema

EDIT 2:EDIT 2: Continuación del problema a instancias del solicitante

EDITAR 3: Cometió un error humillante al evaluar $G(1/\sqrt{3})$

Bien...

Está de acuerdo en que la pendiente de la recta tangente al punto $(a, g(a))$ tiene una pendiente de $-2a$ . Por lo tanto, la intersección x viene dada por $a+\Delta a = a +\frac{0-g(a)}{g'(a)}$ . Ahora la intersección y viene dada por $(0 - (a+\Delta a))\cdot g'(a) = -(a+\Delta a)\cdot g'(a).$ Por tanto, el área del triángulo viene dada por $1/2\cdot -g'(a)\cdot (a+\Delta a)^2$ . En este problema, el área es $1/2\cdot 2a \cdot (a+\frac{1-a^2}{2a})^2 = \frac{(1+a^2)^2}{4a} \equiv G(a)$ . Ahora su objetivo es maximizar esta función.

Ahora, una continuación del problema:

$4\cdot G'(a) = 4\cdot [\frac{(1+a^2)^2}{4a}]' = 3a^2 + 2 - 1/a^2 = 0$ . Ahora bien, si $a=0$ entonces $G(a)$ es indefinido, así que sin pérdida de generalidad supongamos $a \neq 0$ . Entonces, $3a^4 + 2a^2 - 1 = 0$ . Dejemos que $z = a^2$ y adivinar una solución de $z = 1/3$ . Por la división sincrética, encontramos que $3a^4+2a^2 - 1 = (3a^2 - 1)(a^2+1) = 0$ . Por lo tanto, $a = 1/\sqrt{3}$ o $a=-1/\sqrt{3}$ . Deberíamos comprobar cómo $G(a)$ se comporta como $a \rightarrow \infty$ , a saber $G(a) \rightarrow \infty$ . Finalmente, $G''(a)>0$ y así nuestros valores de $a$ son colectivamente mínimos globales como se desea.

Concluimos que la zona es $G(1/\sqrt{3})=4\sqrt{3}/9$ .

Answer 3

Tu triángulo está mal. El triángulo que buscas es el rojo de la imagen de abajo.

La ecuación de la recta tangente en $x=a$ es: $$y - g(a) = (g'(a))(x-a)$$

La parte superior del triángulo tiene el $y$ que obtienes cuando conectas $x=0$ a la ecuación anterior (es decir, $a\ne 0$ pero $x$ (la variable) es igual a $0$ ).

¿Ayuda eso?