Deje $f$ ser una función continua en a $\mathbb{R}$ y definir $$G(x)=\int_0^{\sin (x)}f(t) dt $$ Show that $G$ es derivable en $\mathbb{R}$ y calcular el $G'$.
Este es un ejercicio de Análisis Elemental: La Teoría de Cálculo por Kenneth A. Ross.
Mi primera idea es la siguiente. Deje $x\in \Bbb R$. Definir $F(x):=\int_0^{x}f(t) dt $. Y demostrar que $G:=F\circ \sin$ es diferenciable en a $x$ el uso de:
Está claro que $\sin(x)$ es diferenciable en a $x$. Así que necesito una prueba de que $F$ es diferenciable en a $y:=\sin(x)$. Yo estaba tratando de demostrar que el uso de:
No estoy seguro de si puedo usar este teorema. Obviamente, $f$ sattisfies las condiciones. Pero como $y=\sin(x) \in [-1,1]$, no veo cómo podría optar $a,b$ en el teorema de 34.3, de tal manera que se ajusta a este caso. Parece claro que debía elegir a $a:=0$, y si $y>0$ podía optar $b:=1$, pero si $y<0$, no puedo encontrar ninguna $b$ tal que $y\in[a,b]$.
Quería saber si me estoy dirigiendo en la dirección correcta, así que busqué en el manual de la solución. Lo que están haciendo parece una completa tontería para mí:
No veo por qué están haciendo lo que están haciendo. Terminan la prueba con $G$ es continua. ¿Por qué es que el resultado sea necesario ? Y no es $f$ confundirse (algunos indefinido) $F$ en el comienzo?
Como esta prueba no me satisfacía, me miró aún más, y me encontré con esta prueba:
Esta prueba parece completamente sólida para mí. Pero es mucho menos intuitiva (para mí). No me han llegado con esta prueba a mí mismo.
Mi pregunta son:
- Estaba yendo en la dirección correcta con mi primera idea ? O no es posible aplicar el teorema de 34.3 de esta forma ?
- Estoy en lo cierto de que el oficial de la solución manual es un completo sinsentido, o me estoy perdiendo algo ?
- Es esta última prueba me pareció correcto, y qué crees que el autor del libro tiene este tipo de prueba en mente cuando escribió este ejercicio ? O qué crees que el autor estaba esperando algún tipo de prueba ?
Edit: Para obtener la recompensa que me gustaría ver un riguroso demostrar de qué $G$ es diferenciable en todos los $x\in \Bbb R$ utilizando sólo los teoremas que se ha comprobado en el Análisis Elemental: La Teoría de Cálculo por Kenneth A. Ross.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Tenemos $$ \begin{align} G(x) &=F(\sin(x))\\ &=\int_0^{\sin(x)}f(t)\,\mathrm{d}t\tag{1} \end{align} $$ donde $$ \begin{align} F(u) &=\int_0^uf(t)\,\mathrm{d}t\\ &=\underbrace{\int_{-1}^uf(t)\,\mathrm{d}t}_{\substack{\text{differentiable}\\\text{for %#%#%}}}-\underbrace{\int_{-1}^0f(t)\,\mathrm{d}t}_\text{constant}\tag{2} \end{align} $$ El Teorema Fundamental del Cálculo dice $$ F'(u)=f(u)\etiqueta{3} $$ La Regla de la Cadena dice que $$ \begin{align} G'(x) &=F'(\sin(x))\cos(x)\\ &=f(\sin(x))\cos(x)\tag{4} \end{align} $$
Técnica: Para aplicar el Teorema de 28.4 a Teorema de 34.3 sin ningún trabajo adicional, debemos elegir el límite inferior de integración en $u\ge-1$ a ser inferiores a $(2)$.
Sin embargo, con un poco de trabajo extra, podemos demostrar que $-1$ sólo necesita ser continua en $f$. El único problema surge cuando computing $[-1,1]$. Desde $F'(\pm1)$ sólo verán $F(u)$, sólo necesitamos considerar la cara derivado en $u\in[-1,1]$.
Supongamos $\pm1$, $u_0=\pm1$ podemos aplicar el Valor medio el Teorema de encontrar una $u\in(-1,1)$$\xi$$u_0$, por lo tanto, en $u$, por lo que $$ \begin{align} \frac{F(u)-F(u_0)}{u-u_0} &=F'(\xi)\\ &=f(\xi)\tag{5} \end{align} $$ Por lo tanto, desde el $(-1,1)$ es continua en a $f$, tenemos la cara de derivados $$ \begin{align} F'(u_0) &=\lim_{u\to u_0}\frac{F(u)-F(u_0)}{u-u_0}\\ &=\lim_{\xi\to u_0}f(\xi)\\ &=f(u_0)\tag{6} \end{align} $$
Estás pensando correctamente acerca de cómo aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo y la Regla de la Cadena.
No estoy segura de por qué se están mostrando que las $[-1,1]$ es continua. Ya que han demostrado su derivada existe, ya es continuo.
El manuscrito de la prueba se ve bien. Es un enfoque diferente, pero es válida. Usted no necesita la Regla de la Cadena con el enfoque.
