Integral indefinida que involucra la función logarítmica de Lambert W o producto.

Question

Cómo calcular la integral

$\displaystyle \int \frac{1-x}{x W\left(\frac{1-x}{x}\right)} \, dx$ ?

He intentado hacer una sustitución pero parece que no funciona.

¿Tiene esta integral una solución simbólica o una expansión en serie?

Answer 1

Si cambia la variable $$\frac{1-x}x=t\implies x=\frac{1}{t+1}\implies dx=-\frac{dt}{(t+1)^2}$$ se termina con $$I=\int \frac{1-x}{x W\left(\frac{1-x}{x}\right)} \, dx=-\int \frac {t}{(1+t^2) \, W(t)} \,dt$$ Se puede expandir el integrando alrededor de $t=0$ utilizando la composición de series de Taylor. Esto daría $$ \frac {t}{(1+t^2) \, W(t)}=1-t+\frac{1}{2}t^2+\frac{2 }{3}t^3-\frac{71 }{24}t^4+\frac{443 }{60}t^5-\frac{11627 }{720}t^6+\frac{86111 }{2520}t^7+O\left(t^8\right)$$

Editar

Pensando más en ello, usando a Taylor alrededor de $x=1$ , usted tiene $$\frac{1-x}{x W\left(\frac{1-x}{x}\right)} =1-(x-1)+\frac{1}{2} (x-1)^2-\frac{2}{3} (x-1)^3+\frac{3}{8} (x-1)^4-\frac{19}{30} (x-1)^5+\frac{35}{144} (x-1)^6-\frac{601}{840} (x-1)^7+O\left((x-1)^8\right)$$

Integración entre $\frac 12$ y $\frac 32$ la serie anterior llevaría a $\frac{48241}{46080}\approx 1.0468967$ mientras que la integración numérica daría $1.0467994$ .

Answer 2

Una pista:

Dejemos que $u=\dfrac{1-x}{x}$ ,

Entonces $x=\dfrac{1}{u+1}$

$dx=-\dfrac{du}{(u+1)^2}$

$\therefore\int\dfrac{1-x}{xW\left(\frac{1-x}{x}\right)}~dx=-\int\dfrac{u}{(u+1)^2W(u)}~du$

Dejemos que $v=W(u)$ ,

Entonces $u=ve^v$

$du=(v+1)e^v~dv$

$\therefore-\int\dfrac{u}{(u+1)^2W(u)}~du=-\int\dfrac{(v+1)e^{2v}}{(ve^v+1)^2}~dv$