¿Existe una función analítica con $f(1/n)=a_n \text{ where } a_n \in \{1/2,0,1/4,0,1/6 \ldots\}$

Question

¿Existe una función analítica tal que

$$f(1/n)=a_n \text{ where } a_n \in \{1/2,0,1/4,0,1/6 \ldots\}\text?$$

No he podido resolver este problema. Tal vez me falte algún lema que no se haya mostrado en clase.

Gracias.

Answer 1

Si el problema se plantea así, se puede elegir $a_n$ para ser una secuencia constante en ese conjunto (en cuyo caso las repeticiones de elementos en el conjunto no tienen sentido). Es fácil encontrar una función entera que sea una constante fija en muchos puntos.

Si $a_n$ es la secuencia de la lista, entonces aquí hay una pista:

Sugerencia $$f(\frac{1}{2n})=0$$

El teorema de la identidad te dice exactamente lo que $f$ es, y esa elección contradice los otros valores de $f$

Answer 2

Sí, existe esta función. Para $0<|z|<1$ definir

$$f(z) = \frac{z\sin^2(\pi/(2z))}{z+1}.$$

Entonces $f$ es analítico en $\{0<|z|<1\}$ y $f(1/n) = a_n$ para todos $n.$