La probabilidad cuenta como combinatoria. Sea $r > 1$ y consideremos el experimento en el que generamos un conjunto múltiple eligiendo $K_i$ copias de $i$ independientemente para cada $i \ge 1$ , donde $K_i$ es la distribución geométrica con parámetro $1 - r^{-i}$ (es decir, $\Pr[K_i = k] = r^{-ik}(1 - r^{-i})$ ).
Cualquier partición particular de $n$ , digamos que con $k_i$ copias de $i$ para cada $i$ es generado por el experimento con probabilidad
$$ \prod_{i = 1}^\infty r^{-ik_i}(1 - r^{-i}) = r^{-n} \prod_{i = 1}^\infty (1 - r^{-i}), $$
que es el mismo para cada partición de $n$ , por lo que no puede ser más que $\frac{1}{p(n)}$ . Así,
$$ \begin{align*} p(n) &\le r^n \prod_{i = 1}^\infty \frac{1}{1 - r^{-i}} \\ &= r^n \exp \sum_{i=1}^\infty -\ln (1 - r^{-i}) \\ &= r^n \exp \sum_{i=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{r^{-ik}}{k} \\ &= r^n \exp \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(r^k - 1)} \\ &< r^n \exp \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2(r - 1)} \\ &= r^n \exp \frac{\pi^2}{6(r - 1)}. \\ \end{align*} $$
Ya obtenemos el resultado deseado con $p(n) = O(r^n)$ para todos $r > 1$ . La cota más ajustada que podemos demostrar de esta manera está en $r = 1 + \frac{\pi}{\sqrt{6n}}$ , donde
$$ \ln p(n) < n \ln r + \frac{\pi^2}{6(r - 1)} < n(r - 1) + \frac{\pi^2}{6(r - 1)} = \pi\sqrt{\frac23 n}, \\ p(n) < \exp\left(\pi\sqrt{\frac23 n}\right), $$
casi igual a la fórmula asintótica conocida $p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt 3} \exp\left(\pi\sqrt{\frac23 n}\right)$ .
