Quiero demostrar que la siguiente suma converge o diverge:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{p_n}{n^2} $$ donde $p_n$ es el enésimo primo.
La serie comienza así
$$ 2+\frac{3}{4}+\frac{5}{9}+\frac{7}{16}+... $$
¿Es la verdad la divergencia?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El teorema que necesitamos aquí es el prueba de comparación .
Teorema. Sean dos secuencias $(a_n),(b_n)\subseteq\mathbb R_{\geq0}$ sea tal que $b_n\geq a_n$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ y para que la serie $\sum a_n$ diverge. Entonces la serie $\sum b_n$ también diverge.
El resto es fácil después de hacer la observación señalada en los comentarios: que $p_n> n$ para todos $n\geq1$ y luego hacer la simple observación de que $\sum1/n$ es el Serie armónica cuya divergencia es bien conocida.
