No puedo determinar el número de los elementos de $\{(x,y)\}$ tal que $ax_i+by_i\leqq ab$

Question

El problema planteado es el siguiente.

$a,b \in \mathbb{P}\setminus{\{2\}} \ \land a\neq b,\ \ x,y\in \mathbb{N}$

Determinar el número de los elementos de $\{(x,y)\} $ tal que $ax_i+by_i\leqq ab$

La respuesta es $ \ \displaystyle\frac{(a-1)(b-1)}{2} \ $ pero no puedo deducirlo.

He encontrado los siguientes datos.

$1\leqq x_i\leqq b-1$

$1\leqq y_i\leqq a-1$

$\therefore ax+by\neq ab$

$k:=$ La respuesta.

$1\leqq i\lt j \leqq k \Rightarrow ax_i+by_i\neq ax_j+by_j$

Answer 1

Cuenta el número de puntos de la red en $ax+by\leq ab,x>0,y>0$ .

Tenemos $ax+by\leqq ab\implies 0<x<b,0<y<a$ .

Dado que el número de puntos de la red en $ax+by<ab,x>0,y>0$ (la parte roja) y $ax+by>ab,x<b,y<a$ son iguales, y no hay puntos en $ax+by=ab$ como señalas, basta con dividir el número de puntos de la red en $0<x<b,0<y<a$ por $2$ .
Ahora tenemos
$$k=\frac{(a-1)(b-1)}{2}$$

Esta imagen es para $(a,b)=(7,11)$