¿Cuáles son las propiedades de la transformada de Fourier de una función de fase única?

Question

Dada una función de la forma: $$ f(x) = e^{i\phi(x)} | \phi(x)\in\Re $$ ¿Cuáles son las propiedades de su transformada de Fourier? Por ejemplo, las funciones puramente reales tienen transformadas de Fourier con propiedades simétricas. ¿Se puede decir algo similar sobre las transformadas de Fourier de funciones que solo tienen fase?

Answer 1

Una "función solo de fase" $f(x)$ como la llamas puede expresarse de manera equivalente como una función para la cual $|f(x)|=1$ para todo $x$. O en otras palabras, para todo $x\in\mathbb R$, $$ f(x)\cdot \overline{f(x)}=1.\qquad(1) $$ Sea $g(y)$ la transformada de Fourier de $f(x)$, la cual es en realidad una distribución temperada para esta clase de funciones (ignoraremos esta distinción por el resto de este párrafo). Dado que las transformadas de Fourier intercambian la multiplicación con la convolución, de manera intuitiva $(1)$ debería transformarse en $$ \delta(y)=g(y)*\overline{g(-y)}, $$ lo cual puede interpretarse (por definición de convolución) como diciendo que $g$ es ortogonal a todas sus traslaciones no nulas. De hecho, de manera intuitiva se tiene que $$ g(y)*\overline{g(-y)}=\int_{\mathbb R}g(t)\overline{g(t-y)}\ dt=\langle g(t),g(t-y)\rangle. $$ Para que esto "sea igual" a la delta "función" significa que, para $y\not=0$, la función $g(t)$ es ortogonal a su traslación por $y$.

Ahora que tenemos la imagen intuitiva, podemos proceder a formalizarla. Sea $\tau_z$ el operador que desplaza una distribución temperada por $z$. (Ver esta publicación de Terry Tao para una definición precisa de lo que esto significa, junto con un buen resumen de las propiedades formales para trabajar con distribuciones temperadas.)

Afirmación. La transformada de Fourier de una "función solo de fase" es una distribución temperada $g$ con la propiedad de que para todo $z\in\mathbb R\setminus \{0\}$, existe una secuencia de funciones de Schwartz $g_n$ (posiblemente dependiendo de $z$) que convergen a $g$ en el sentido de distribuciones temperadas, con la propiedad de que $$\lim_{n\to\infty}\langle \tau_z g,g_n\rangle=0.$$

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Ejemplos explícitos.

1. En el caso de una fase lineal $f(x)=e^{i(ax+b)}$, la transformada de Fourier es un múltiplo de un pico de dirac, que obviamente satisface la condición (ya que cualquier traslación distinta de cero tiene el pico en otro lugar, lo que significa que es ortogonal al primer pico).

2. En el caso de una fase cuadrática $f(x)=e^{-ix^2/2}$, la transformada de Fourier es una constante por $e^{iy^2/2}$, y podemos ver que es ortogonal a su traslación por $z\in\mathbb R\setminus \{0\}$ ya que podemos tomar una secuencia de funciones $g_n$ al restringir $e^{iy^2/2}$ al intervalo $[-\frac{2\pi n}{|z|},\frac{2\pi n}{|z|}]$ y obtener $$ \langle e^{i(y+z)^2/2},g_n\rangle=\int_{-2\pi n/|z|}^{2\pi n/|z|}e^{i(y+z)^2/2}e^{-iy^2/2}\ dy=0, $$ ya que la función a integrar es un múltiplo constante de $e^{iyz}$, que tiene un periodo $2\pi/|z|$.

Answer 2

Hay una clase de filtros llamados filtros "Todo-Paso" que tienen magnitud unitaria y fase distinta de cero. A menudo se utilizan para corregir la distorsión de fase introducida en otras partes de la cadena de procesamiento de señales.

Debido al teorema del desplazamiento de Fourier, estás (en el dominio del tiempo) desplazando los diferentes componentes de frecuencia. Por ejemplo, si la fase es lineal, estarás desplazando más las frecuencias con mayor magnitud.

Hay numerosas aplicaciones de estos filtros. Puedes leer más sobre ellos en Wikipedia aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/All-pass_filter

(Sé que estos no son propiedades matemáticas, como la simetría, que estabas solicitando. Pero pensé que igualmente te resultaría interesante.)