Demostrar que $2^{15}-1$ se divide por $11\cdot31\cdot61$ ?

Question

Tengo que demostrar que $2^{15}-1$ se divide por $11\cdot31\cdot61$ . He probado usando congruencias que $2^{15}-1$ se divide por $31$ . Sin embargo, tenemos

$$2^5\equiv 10 \mod{11}$$ $$2^{15}\equiv 10^3=1000\equiv 10 \pmod {11}$$ Por lo tanto, $$2^{15}-1\equiv 9 \pmod{11}.$$ ¡¡Así que es imposible de probar!!

Answer 1

Tienes razón, hay un error en el problema. Aquí hay dos factorizaciones primos útiles: $$ \begin{align*} 2^{15}-1&=32767=7\cdot 31\cdot 151\\ 2^{15}+1&=32769=3^2\cdot 11\cdot 331 \end{align*} $$

Answer 2

Tienes razón: la factorización que te dan es errónea.

Desde $N=2^{15}-1=(2^5)^3-1=(2^5-1)((2^5)^2+2^5+1)$ se obtiene $$ 2^{15}-1=31\cdot(1024+32+1)=31\cdot 1057 $$ Sin embargo, también puede utilizar $$ 2^{15}-1=(2^3)^5-1=(2^3-1)((2^3)^4+(2^3)^2+2^3+1) $$ así que $N$ también es divisible por $7$ . Dividir $1057$ por $7$ para conseguir $$ N=31\cdot 7\cdot 151 $$ (y $151$ es primo).