Prueba sobre una infinita suma: $\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2+3k+1} \ge \frac12$

Question

Hola yo tengo una bastante elemental pregunta, pero estoy un poco confundido.

Estoy tratando de demostrar que $$\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2+3k+1} \ge \frac12$$

gracias, Thrasyvoulos

Answer 1

$$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+3k+1}\geq\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+3k+2}=\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=$$ $$\lim_{n\to\infty}\;\;\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)$$ Tenga en cuenta que $$\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$$ así $$\lim_{n\to\infty}\;\;\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+2}\right)=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{1}{2}$$ Por lo tanto, hemos demostrado $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2+3k+1}\geq\frac{1}{2}$$

Answer 2

Tenemos $$\sum_{k\geq 1}\frac 1{k^2+3k+1}\geq \sum_{k\geq 1}\frac 1{k^2+4k}=\frac 14\sum_{k\geq 1}\frac {k+4-k}{k^2+4k}=\frac 14\sum_{k\geq 1}\left(\frac 1k-\frac 1{k+4}\right),$$ por lo tanto \begin{align*} \sum_{k\geq 1}\frac 1{k^2+3k+1} &\geq \frac 14\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{k=1}^N\frac 1k-\sum_{k=1}^N\frac 1{k+4} \right)\\ &=\frac 14\left(\sum_{j=1}^N\frac 1j-\sum_{j=5}^{N+4}\frac 1j \right)\\ &=\frac 14\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14-\frac 1{N+1}-\frac 1{N+2}-\frac 1{N+3}-\frac 1{N+4}\right)\\ &=\frac 14\left(\frac 32+\frac 7{12}\right)\\ &=\frac{6\cdot 3+7}{48}\\ &=\frac{25}{48}\geq\frac 12. \end{align*}

Answer 3

Un feo enfoque: evaluar la suma parcial directamente (y aviso que cada término es positivo).

$$ \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2+3k+1} > \sum_{k=1}^{20}\frac1{k^2+3k+1} = 0.5007647\dots $$

Answer 4

He aquí un "mazazo" enfoque que utiliza el hecho de que $\sum_{k=1}^\infty {1\over k^2}={\pi^2\over6}$:

$$\eqalign{ \sum_{k=1}^\infty {1\over k^2+3k +1}&= \sum_{k=1}^7 {1\over k^2+3k+1 } + \sum_{k=8}^\infty {1\over k^2+3k +1}\cr &\ge \sum_{k=1}^7 {1\over k^2+3k +1} + \sum_{k=8}^\infty {1\over 2 k^2 }\cr &= \sum_{k=1}^7 {1\over k^2+3k +1} + {1\over2}({\pi^2\más de 6} -\sum_{k=1}^7 {1\over k^2})\cr &\ge 1/2.}$$

(Suponiendo que hice la aritmética correctamente en el último paso (la expresión en el lado izquierdo de la desigualdad es de aproximadamente $0.5012485$.)