Implicación de la probabilidad condicional

Question

Me está costando mucho averiguar si $$\mathbb{P}\left(X\cap Y\mid Z\right)=\mathbb{P}\left(X\mid Z\right)\mathbb{P}\left(Y\mid Z\right)$$ y $\mathbb{P}\left(Z\right)<1$ implica $$\mathbb{P}\left(X\cap Y\mid\overline{Z}\right)=\mathbb{P}\left(X\mid\overline{Z}\right)\mathbb{P}\left(Y\mid\overline{Z}\right)$$ No veo cómo pasar $$\mathbb{P}\left(X\cap Y\cap Z\right)=\frac{\mathbb{P}\left(X\cap Z\right)\mathbb{P}\left(Y\cap Z\right)}{\mathbb{P}\left(Z\right)}$$ por lo que me hace suponer que la implicación ni siquiera es cierta, pero sí lo fue en todos los ejemplos que se me ocurrieron.

Answer 1

Como contraejemplo, consideremos un espacio muestral de cardinalidad $7$ con todos los puntos de la muestra igualmente probables.

Que los eventos $X,Y,Z$ se elija para que coincida con el siguiente diagrama de Venn

donde cada uno de los $7$ Las regiones ilustradas tienen una cardinalidad $1$ .

Entonces tenemos $$P(X|Z)=P(Y|Z)=\frac{1}{2}\;\;\text{and}\;\;P(X\cap Y|Z)=\frac{1}{4}$$ así que $P(X\cap Y|Z)=P(X|Z)P(Y|Z)$ pero $$P(X|\overline{Z})=P(Y|\overline{Z})=\frac{2}{3}\;\;\text{and}\;\;P(X\cap Y|\overline{Z})=\frac{1}{3}$$ así que $P(X\cap Y|\overline{Z})\ne P(X|\overline{Z})P(Y|\overline{Z})$ .

Answer 2

No es cierto.

Un contraejemplo (algo degenerado): $$(\Omega, \mathcal A, \mathsf P)=\big(\{0,1,2\}, \mathfrak P(\{1,2,3\}), \text{counting measure}\big)$$ y $$X=\{0\}, Y=\{1\}, Z=\{2\}.$$