Demostración del teorema del valor intermedio

Question

¿Existe una función continua $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $f(f(a)) = -a$ por cada $a \in \mathbb{R}$ ?

Answer 1

Si $f(a)=f(b)$ entonces $a=-f(f(a))=-f(f(b))=b$ . Así que $f$ es inyectiva. Al ser continua, es entonces ya sea aumentando o disminuyendo .

Tenga en cuenta que $g(x)=-x$ está disminuyendo.

• Si $f$ es creciente, entonces $f(f(x))$ también aumenta, por lo que $f(f(x))$ no puede ser igual $g$ .

• Si $f$ es decreciente, la composición de dos funciones decrecientes es creciente, por lo que $f(f(x))$ no puede ser igual $g$ .

Así que no existe tal función.