Me preguntaba si un producto punto es técnicamente un término utilizado cuando se habla del producto de $2$ vectores es igual a $0$ . ¿Y alguien está de acuerdo en que un producto interno es un término que se utiliza cuando se habla de la integral del producto de $2$ es igual a $0$ ? ¿O no hay ninguna diferencia entre un producto punto y un producto interior?
Respuestas
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Según mi experiencia, el producto punto se refiere al producto $\sum a_ib_i$ para dos vectores $a,b\in \Bbb R^n$ y que el "producto interior" se refiere a una clase más general de cosas. (También debo señalar que el producto punto real se extiende a un producto punto complejo utilizando el conjugado complejo: $\sum a_i\overline{b}_i)$ .
La definición de "producto interno" a la que estoy acostumbrado es un tipo de forma biaditiva de $V\times V\to F$ donde $V$ es un $F$ espacio vectorial.
En el contexto de $\Bbb R$ espacios vectoriales, la forma biaditiva suele tomarse como simétrica y $\Bbb R$ lineal en ambas coordenadas, y en el contexto de $\Bbb C$ espacios vectoriales, se considera que es hermetiano-simétrico (es decir, invirtiendo el orden del producto se obtiene el complejo conjugado) y $\Bbb C$ lineal en la primera coordenada.
Los productos internos en general pueden definirse incluso en espacios vectoriales de dimensión infinita. El ejemplo de la integral es un buen ejemplo de ello.
El producto punto real es sólo un caso especial de un producto interno. De hecho, es incluso positivo definido, pero los productos internos generales no tienen por qué serlo. El producto punto modificado para espacios complejos también tiene esta propiedad definida positiva, y tiene la simetría hermitiana que mencioné anteriormente.
Los productos internos se generalizan mediante formas lineales . Creo que he visto que algunos autores utilizan el "producto interno" para aplicarlo también, pero la mayoría de las veces sé que los autores se ciñen a $\Bbb R$ y $\Bbb C$ y requieren la definición positiva como axioma. Las formas bilineales generales permiten formas indefinidas e incluso vectores degenerados (con "longitud cero"). La versión ingenua del producto punto $\sum a_ib_i$ sigue funcionando sobre cualquier campo $\Bbb F$ . Otra cosa que hay que tener en cuenta es que en muchos campos la noción de "positivo definido" no tiene ningún sentido, por lo que puede desaparecer.
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Un producto punto es un producto interno muy específico que funciona en $\Bbb{R}^n$ (o más generalmente $\Bbb{F}^n$ , donde $\Bbb{F}$ es un campo) y se refiere al producto interior dado por
$$(v_1, ..., v_n) \cdot (u_1, ..., u_n) = v_1 u_1 + ... + v_n u_n$$
De forma más general, un producto interior es una función que toma dos vectores y da un número complejo, sujeto a algunas condiciones.
Avi
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Landon Blackledge
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Deja...
- $c\in\mathbb{C}$
- $\vec{u}$ , $\vec{v}\in\mathbb{R}_{m\times1}$
- $A$ , $B\in\mathbb{C_{m\times n}}$
- Complejo conjugado de $c = \overline{c} = c^*$
- Valor absoluto de $c = \left|c\right| = \sqrt{\overline{c}c}$
Ahora, según wiki ...
- Producto de puntos de $\vec{u}$ & $\vec{v} = \vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{u}^T\vec{v}$ .
- Producto interno de $\vec{u}$ & $\vec{v} = \left<\vec{u},\vec{v}\right> = \vec{u}^T\vec{v}$ .
Como se menciona en la respuesta elegida, el producto interior se utiliza a veces como una generalización del producto punto (& el artículo referenciado habla de ello) pero, en aras de la brevedad/utilidad, te aconsejo que los consideres equivalentes a menos que tengas razones para creer lo contrario (es decir, notación extraña, definiciones explícitas, contexto, etc.).
Aunque parezca una tontería, suelo utilizar $\left<\vec{u},\vec{v}\right>$ en lugar de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ simplemente porque es más explícito/identificable (es decir, mi cerebro está programado para asociar " $\cdot$ " con multiplicación escalar) &, si mi memoria no me falla, cogí la costumbre del Dr. Strang.
P.D. Para extender las ideas de los productos punto/interior a matrices reales/complejas arbitrarias, comprueba el Producto interior de Frobenius ...
$$ A:B = \left<A,B\right>_F = \text{tr}\left(\overline{A}^TB\right) $$
