¿Cómo normalizar los datos entre -1 y 1?

Question

He visto la fórmula de normalización min-max pero esta normaliza los valores entre 0 y 1. ¿Cómo puedo normalizar mis datos entre -1 y 1? Tengo tanto valores negativos como positivos en mi matriz de datos.

Answer 1

Con: $$ x' = \frac{x - \min{x}}{\max{x} - \min{x}} $$ normalizas tu característica $x$ en $[0,1]$.

Para normalizar en $[-1,1]$ puedes usar:

$$ x'' = 2\frac{x - \min{x}}{\max{x} - \min{x}} - 1 $$

En general, siempre puedes obtener una nueva variable $x'''$ en $[a,b]$:

$$ x''' = (b-a)\frac{x - \min{x}}{\max{x} - \min{x}} + a $$

Y en caso de que quieras devolver una variable a su valor original puedes hacerlo porque estas son transformaciones lineales y por lo tanto invertibles. Por ejemplo:

$$ x = (x''' - a)\frac{(\max{x} - \min{x})}{b-a} + \min{x} $$

Un ejemplo en Python:

import numpy as np
x = np.array([1, 3, 4, 5, -1, -7])
# meta: rango [0, 1]
x1 = (x - min(x)) / (max(x) - min(x))
print(x1)
>>> [0.66666667 0.83333333 0.91666667 1. 0.5 0.]

Un ejemplo en JavaScript:

// meta: rango [0, 1]
const array = [1,3,4,5,-1,-7];
const minX = Math.min(...array);
const maxX = Math.max(...array);
const normalizedArray = array.map(x => (x-minX) / (maxX-minX));
console.log(normalizedArray);

Answer 2

Probé con datos generados aleatoriamente, y

\begin{equation} X_{out} = (b-a)\frac{X_{in} - \min{X_{in}}}{\max{X_{in}} - \min{X_{in}}} + a \end{equation}

no conserva la forma de la distribución. Realmente me gustaría ver la derivación adecuada de esto usando funciones de variables aleatorias.

El enfoque que sí conservó la forma para mí fue usando:

\begin{equation} X_{out} = \frac{X_{in} - \mu_{in}}{\sigma_{in}} \cdot \sigma_{out} + \mu_{out} \end{equation}

donde

\begin{equation} \sigma_{out} = \frac{b-a}{6} \end{equation}

(Admito que usar 6 es un poco sucio) y

\begin{equation} \mu_{out} = \frac{b+a}{2} \end{equation}

y

$a$ y $b$ son el rango deseado; entonces según la pregunta original serían $a=-1$ y $b=1$.

Llegué a este resultado con este razonamiento

\begin{equation} Z_{out} = Z_{in} \end{equation}

\begin{equation} \frac{X_{out} - \mu_{out}}{\sigma_{out}} = \frac{X_{in} - \mu_{in}}{\sigma_{in}} \end{equation}