Dimensión del espacio nulo de una transformación lineal dada

Question

Dejemos que $A =\begin{bmatrix}2 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix}$
Definir la transformación lineal $T$ como $AX - XA$ donde $X$ es un $2$ x $2$ matriz. Hallar la dimensión del espacio nulo de $T$ ?
Mi enfoque: Deja que $X = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}$ Entonces, simplificando la expresión para T.
$AX = \begin{bmatrix}2 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2a -c & 2b - d\\-a + 2c & -b+2d\end{bmatrix}$ y
$XA = \begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}2 & -1\\-1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2a - b & -a+2b\\2c-d & -c+2d\end{bmatrix}$

Así que $AX - XA = \begin{bmatrix}2a -c -2a + b& 2b - d +a-2b\\-a + 2c -2c +d & -b+2d +c -2d\end{bmatrix}$
Al simplificarla, se obtendrá
$AX -XA = \begin{bmatrix}b -c & a - d\\d-a & c-b\end{bmatrix}$
Ahora el espacio nulo es cuando $TX = 0$ así que comparando elemento por elemento en $AX-XA = 0$

$\begin{bmatrix}b -c & a - d\\d-a & c-b\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{bmatrix}$ obtenemos $b = c$ y $a = d$ para las matrices que pertenecerán a $T's$ espacio nulo.

Así que $X = \begin{bmatrix}a & b \\b & a\end{bmatrix}$ se asignará a $0$ . $X$ podría escribirse como
$X = a\times\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix} + b \times\begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix}$ .

Así que la Dimensión del espacio nulo debe ser $2$ .

¿Estoy en lo cierto? Me enfrenté a este problema en el papel de la asignatura de matemáticas gre y el álgebra lineal es mi tema más débil, así que si alguien pudiera ayudarme con esto estaría muy agradecido.

Answer 1

Esta solución dada parece estar bien. Entonces, +1, ¡aprobado!

Aquí hay otra manera de hacer estos cálculos que algunos pueden encontrar algo más fácil; también creo que presta una mayor comprensión del problema:

Podemos generalizar y escribir

$A = \begin{bmatrix} a & b \\ b & a \end{bmatrix} = aI + bP, \tag 1$

donde

$P = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}; \tag 2$

entonces desde $I$ conmuta con cualquier matriz $X$ ,

$IX = XI, \tag 3$

es fácil ver que

$T(X) = AX - XA = b(PX - XP); \tag 4$

esto siempre desaparece para $b = 0$ y para la arbitrariedad $b \ne 0$ proporcionó

$PX - XP = 0 \Longrightarrow PX = XP; \tag 5$

con

$X = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix}, \tag 6$

(5) se convierte en

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_3 & x_4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}; \tag 7$

es decir,

$\begin{bmatrix} x_3 & x_4 \\ x_1 & x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_2 & x_1 \\ x_4 & x_3 \end{bmatrix}, \tag 8$

de la cual

$x_1 = x_4, \; x_2 = x_3; \tag 9$

vemos así que

$X = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \\ x_2 & x_1 \end{bmatrix} = x_1I + x_2P; \tag{10}$

Comparando esto con (1), vemos que $X$ es de la misma familia general que $A$ y que si $b \ne 0$

$\dim \ker T = 2; \tag{11}$

pero

$\dim \ker T = 4 \tag{11}$

cuando $b = 0$ .