¿Cuál es la relación entre las conexiones sobre haces principales y las conexiones sobre haces vectoriales?

Question

Estoy leyendo Kobayashi / Nomizu 's vol. I. Estoy leyendo acerca de las conexiones en los principales paquetes G. Después de ese capítulo hay un capítulo sobre conexiones (lineales) en haces vectoriales. Dado que podemos asociar a cada haz principal un haz vectorial (a través del producto trenzado) y a cada haz vectorial un haz vectorial principal, me preguntaba si podemos hacer esto:

Dada una conexión en un haz principal, defina una conexión asociada en el haz vectorial asociado, y a la inversa, dada una conexión (lineal) en un haz vectorial, defina una conexión asociada en el haz principal asociado.

Si alguien sabe como hacerlo o me puede indicar algún libro que lo tenga hecho, le estaré muy agradecido.

He intentado hacerlo por mi cuenta pero si hay una forma obvia de hacerlo me la estoy perdiendo.

Answer 1

Sea $P$ ser un director $G$ -bundle, $\rho:G\to GL(V)$ una representación de dimensión finita de $G$ , $E = P \times_G V$ el haz vectorial asociado. Para cualquier conexión principal $\Phi$ en $P$ se asocia una conexión lineal inducida $\bar \Phi$ en $E$ . A la inversa, cualquier conexión lineal sobre un haz vectorial $E$ se induce a partir de una única conexión principal en el haz de tramas lineales $GL(\mathbb R^n, E)$ de $E$ .

Encontrará todos los detalles aquí: Temas de Geometría Diferencial - P. W. Michor .

Answer 2

Dada una representación fiel $V$ de un grupo $G$ la construcción de haces asociada es una equivalencia de categorías entre haces principales sobre un espacio localmente anillado $M$ con fibra $G$ y haces vectoriales en $M$ con fibra $V$ . Esto es más o menos en Steenrod's Topología de haces de fibras .

Dado un haz principal $P$ y un haz vectorial correspondiente $W$ existe una biyección entre conexiones en $P$ y conexiones en $W$ . Una forma de dejarlo claro es utilizar Definición de conexión de Grothendieck : Sea $\Delta: M \to M \times M$ es la diagonal en la base de la variedad, y sea $I$ sea la gavilla de ideales que define $\Delta(M)$ como un submanifold de $M \times M$ . El espacio localmente anillado $M^{(1)}$ definido por $I^2$ es la vecindad de primer orden de la diagonal, y la inclusión en $M \times M$ induce mapas $p_1, p_2: M^{(1)} \to M$ . Una conexión en $P$ es un isomorfismo $p_1^* P \to p_2^* P$ y una conexión en $W$ es un isomorfismo $p_1^* W \to p_2^* W$ . Su correspondencia se desprende de la equivalencia del primer párrafo.

Entre las posibles referencias se incluye la conferencia de Grothendieck en el ICM en 1970, disponible en el sitio web de las actas de la ICM y la tesis de Berthelot (Springer Lecture Notes 407).