Dejemos que $X$ sea un colector y $Y$ ser su cobertura universal. ¿Es cierto que cualquier $\phi \in \mathrm{Aut}(X)$ puede elevarse a $\overline{\phi}\in \mathrm{Aut}(Y)$ ?
Respuestas
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ronno
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4382
En general, si tienes un mapa $f \colon X \to X'$ , entonces se eleva a las cubiertas universales $\tilde f \colon Y \to Y'$ ya que la composición $f \circ p \colon Y \to X'$ satisface la condición de la respuesta de Idan. Para demostrar que en su caso, el mapa está en $\mathrm{Aut}(Y)$ Comprueba que este levantamiento se comporta bien con la composición y la identidad.
Idan
Puntos
462
En general, si p es el mapa de cobertura, la función a $f:Z\rightarrow X$ puede levantarse si $f_*:\pi_1(Z)\rightarrow\pi_1(X): f_*(\varphi)=f\circ\varphi$ satisface $f_*(\pi_1(Z))\le p_*(\pi_1(Y))$ . El recubrimiento universal tiene un grupo fundamental trivial, por lo que a menos que $f_*(\pi_1(Z))$ es trivial, no parece que podamos levantar el mapa.
