Convergencia de $\frac1m(I+A+A^2+\cdots+A^{m-1})$

Question

Dejemos que $A$ ser un $n\times n$ matriz de entradas no negativas tal que $A_{i1}+A_{i2}+\cdots+A_{in}=1$ para todos $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ . ¿Qué es lo que $A$ tienen que satisfacer para que la secuencia

$$M_m=\frac1m(I+A+A^2+\cdots+A^{m-1})$$

¿converger?

Creo que esto converge para casi todos los $A$ . Debería converger a una matriz $M$ tal que $MA=M$ y $M_{i1}+M_{i2}+\cdots+M_{in}=1$ para todos $i\in\{1,2,\ldots,n\}$ . Estoy bastante seguro de que todas las filas de $M$ son iguales la mayor parte del tiempo, pero no he encontrado una prueba rigurosa. Para lo que necesito, me interesa algo como $|M_m-M|<\epsilon\ll 1$ (para alguna norma $|\cdot|$ (se prefiere la norma del taxi). Gracias de antemano.

Answer 1

Su matriz es estocástica, si además es primitiva entonces el mayor valor propio es $1$ y todos los demás valores propios satisfacen

$$ | \lambda | <1 \,.$$

Lo que necesitas es $\#5$ de aquí: Propiedades del valor propio de Perron-Frobenius

Lo que dice es lo siguiente:

Dejemos que $A$ sea cualquier matriz primitiva y $r$ sea el valor propio de Perron-Frobenius (en su caso $r=1$ ).

Entonces

$$\frac{1}{m} \sum_{i=0}^m \frac{A^i}{r^i} \to vw^t$$

donde $v,w$ son los vectores propios PF izquierdo y derecho normalizados por $w^t v=1$ .

Hay una referencia a este resultado....

P.D. Para ser Primitivo, todas las entradas deben ser positivas. Si esto no ocurre, basta con comprobar la sección "Proyección de Perron como límite": $A^k/r^k$ ", en realidad tiene la idea de la demostración de este resultado bajo configuraciones bastante generales....