Dejemos que $ S $ sea el conjunto $ \mathbb {R} ^ 2 $ con el origen eliminado, demuestre que $ \vec{0} $ es un punto límite de $ S $ .

Question

Definición. Puntos límite. Sea $A\subset \mathbb{R}^n$ . Un punto $x\in \mathbb{R}^n$ se llama punto límite de A si toda vecindad de $x$ contiene al menos un punto en $A$ y al menos un punto no en $A$ .

Dejemos que $ S $ sea el conjunto $ \mathbb {R} ^ 2 $ con el origen eliminado, demuestre que $ \vec{0} $ es un punto límite de $ S $ .

Prueba. Para demostrar que $ \vec{0} = (0, \: 0) $ tenemos que demostrar que para todo $ \varepsilon> 0 $ lo siguiente es cierto para el intervalo $ I = (0- \varepsilon, \: 0 + \varepsilon) $ :

$$ I \cap (0, \: 0) \neq \emptyset \wedge I \cap S \neq \emptyset $$

Claramente, $ 0 - \frac{\epsilon} {2} <0 $ ya que $ \epsilon> 0 $ y $ 0- \frac{\epsilon}{2}> 0- \epsilon $ . Esto significa:

$$0- \frac{\epsilon}{2} \in I \wedge 0- \frac{\epsilon}{2} \notin (0, \: 0)$$

Del mismo modo, para $ x = 0 + \frac {\varepsilon} {2} $ tenemos

$$x \in I,\: x \in (0, \: 0)$$

Esto demuestra que $ (0, \: 0) $ es un punto límite de $ S $

¿Está bien? ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Bueno, aunque es un buen intento, parece que has asumido, incorrectamente, que una vecindad del origen es, o contiene, un intervalo en $\mathbb R^{\color {red}{1}} $ .

Por lo tanto, en su lugar debe demostrar que cualquier bola en $\mathbb R^{\color {blue}{2}} $ que contiene $\vec0$ se cruza con $\mathbb R^2\setminus\{\vec0\} $ .

Te falta una dimensión, y deberías señalar cómo pasas a un intervalo.