Dejemos que $G$ sea un grupo de orden 21, que actúa sobre el conjunto $S$ . Demuestre que si $|S|=n$ donde $\gcd(21,n)=1$ entonces $S^G$ es no vacía.

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo de orden 21, que actúa sobre el conjunto $S$ . Demuestre que si $\lvert S \rvert=n$ donde $\gcd(21,n)=1$ entonces $S^G$ es no vacía. ( $S^G$ es el subconjunto de $S$ arreglado por $G$ . Es decir, $S^G = \{x \in S | ax=x$ para todos $a \in G\}$ )

Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Como 3 y 7 son divisores primos de 21, sabemos por el Teorema de Cauchy que G tiene un elemento de orden 3 y otro de orden 7. Sea $H=\langle a \rangle$ y $K=\langle b \rangle$ donde $a,b \in G$ son de orden 3 y 7 respectivamente.

Un lema de nuestro texto afirma que Si $G$ es un grupo p finito que actúa sobre $S$ entonces $\lvert S \rvert \equiv \lvert S^G \rvert \space \pmod p $

Así, $n \equiv \lvert S^H \rvert \space \pmod 3 \text{ and } n \equiv \lvert S^K \rvert \space \pmod 7$ .
Desde $\gcd(21,n)=1$ Sabemos que $0 \not\equiv \lvert S^H \rvert \space \pmod 3 \text{ and } 0 \not\equiv \lvert S^K \rvert \space \pmod 7$

No estoy seguro de poder argumentar desde aquí que $0 \not\equiv \lvert S^G \rvert \space \pmod{21} $

Answer 1

El resultado que intentas demostrar no es cierto. Por ejemplo, dejemos que $S=G/H\cup G/K$ con $G$ actuando por traslación sobre los cosets (por lo que cada elemento de $G$ mapas $G/H$ a sí mismo y $G/K$ a sí mismo). A continuación, $|S|=|G/H|+|G/K|=7+3=10$ es relativamente primo de $21$ . Pero ningún elemento de $S$ está fijada por cada elemento de $G$ .