Construir un isomorfismo explícito $\widehat{\Phi}^{-1} : \operatorname{End}(V) \to V \otimes V^*$

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial real de dimensión finita. Entonces es bien sabido que $$\boxed{V \otimes V^* \cong \operatorname{End}(V)}$$ Esto se ve al considerar el mapeo $$\Phi:\begin{cases} V \times V^* \to \operatorname{End}(V)\\ (v,f) \mapsto (u \mapsto f(u)v)\end{cases}$$ que desciende a un mapeo lineal $\widehat{\Phi}: V \otimes V^* \to \operatorname{End}(V)$ que en realidad es un isomorfismo. Mi pregunta es saber, ¿cómo $\widehat{\Phi}^{-1}$ ¿mira? Explícitamente, dado $g \in \operatorname{End}(V)$ ¿cuál es el tensor correspondiente?

Answer 1

Dejemos que $f:V\to V$ sea un mapa lineal.

Dejemos que $(v_1,\dots,v_n)$ sea una base de $V$ y que $(\phi_1,\dots,\phi_n)$ sea la correspondiente base dual de $V^*$ . Considere el elemento $u=\sum_{i=1}^nf(v_i)\otimes\phi_i$ : su imagen bajo su mapa $\Phi$ es igual a $f$ . De hecho, para todos los $v\in V$ tenemos que $$\Phi(u)(v) = \sum_{i=1}^n\Phi(f(v_i)\otimes\phi_i)(v)=\sum_{i=1}^n\phi_i(v)f(v_i)=f\left(\sum_{i=1}^n\phi_i(v)v_i\right)=f(v).$$

Answer 2

Es fácil ver lo que ocurre con los operadores de rango 1. En particular: si $g(u) = f(u)v$ para algunos $v,f \in V \times V^*$ entonces $\Phi^{-1}(g) = v \otimes f$ .

A partir de ahí, basta con observar que todo operador puede escribirse como una combinación lineal de operadores de rango 1. En términos de matrices: supongamos que $V = \Bbb F^n$ $g$ es el $n \times n$ matriz $A$ con entradas $a_{ij}$ . Entonces $$ A = \sum_{i,j = 1}^n a_{ij} e_ie_j^T $$ es decir, que $g(u) = \sum_{i,j = 1}^n a_{ij} e_i\langle u,e_j \rangle$ . De la misma manera, $$ \Phi^{-1}(g) = \sum_{i,j = 1}^n a_{ij} \left[e_i \otimes \langle \cdot ,e_j \rangle\right] $$

Answer 3

En general, no se trata de un único tensor $v\otimes f$ sino una suma de ellas.

Para obtener una inversa particular para $\Phi$ Hay que fijar una base $e_1,\dots,e_n$ en $V$ . La base dual consiste en $e_i^*$ que mapean todos los $e_j$ a $0$ excepto en el caso de $e_i$ .
Entonces, $V\otimes V^*$ está atravesado por $e_i\otimes e_j^*$ que corresponde a la matriz básica con todos los $0$ 's pero uno $1$ en $(i,j)$ .

Por último, un $g\in {\rm End}(V)$ se asignará a $\displaystyle\sum_{i,j}g_{i,j}\cdot e_i\otimes e_j^* $ donde $(g_{i,j})_{i,j}$ es la matriz de $g$ en la base dada.

Answer 4

No todos los elementos $\psi \in V \otimes V^*$ tiene la forma $v \otimes f$ (tal tensor, por cierto, se llama simple ). Esta afirmación es cierta sólo para aquellos para los que $\Phi(\psi)$ tiene rango $\leq 1$ . Un elemento general de $V \otimes V^*$ tiene la forma $$\sum_{i = 1}^m v_i \otimes f_i.$$

Una base $(E_a)$ de $V$ determina una base dual $(e^a)$ de $V^*$ y esto a su vez da una base $(E_a \otimes e^b)$ de $V \otimes V^*$ . Entonces, podemos escribir $\smash{\widehat\Psi^{-1}}$ como $$\widehat\Psi^{-1}(g) = \sum_{a, b} e^a(g(E_b)) E_a \otimes e^b .$$ Nótese que aunque nuestra fórmula utiliza una base, ya ha demostrado que el isomorfismo $\Psi^{-1} : \textrm{End}(V) \to V \otimes V^*$ es canónica, es decir, independiente de la elección de la base.