Formalmente se puede definir:
$$
\begin{align}
&A_x=\{(a,b) \in\mathbb{N}^2 : a+b=x,\,\,1<a\le b\} \\
&B_x=\{(a,b) \in\mathbb{N}^2 : ab=x,\,\,1<a\le b\} \\
&C_x=\{ab : (a,b)\in A_x\} \\
&D_x=\{a+b : (a,b)\in B_x\} \\
&R=\{p,\,pq,\,p^3 \,:\, p,q\,\text{ are prime}. \} \\
&T=\{x : C_x \cap R=\emptyset\}
\end{align}
$$
Entonces el problema es encontrar el único valor de $S\in\{4,...,100\}$, de tal manera que la siguiente declaración sostiene:
$$
S\T\,\text{ y }\,\existe!P\en C_S\,:|D_P \cap T|=1
$$
A continuación, $S$ es nuestra suma, y el único valor de $P$ en la declaración anterior es nuestro producto. Con un poco de esfuerzo podemos encontrar estos valores, por simple búsqueda por fuerza bruta.
Buscamos una adecuada $S$. El menor valor en $\{4,...,100\}$$T$$11$. Esto puede ser visto de la siguiente manera:
$$
2\cdot 2\R \text{ y } 2\cdot 2\en C_{4} \text{, por lo Tanto } 4\noen T \\
3\cdot 2\R \text{ y } 3\cdot 2\en C_{5} \text{, por lo Tanto } 5\noen T \\
3\cdot 3\R \text{ y } 3\cdot 3\en C_{6} \text{, por lo Tanto,} 6\noen T \\
5\cdot 2\R \text{ y } 5\cdot 2\en C_{7} \text{, por lo Tanto } 7\noen T \\
5\cdot 3\R \text{ y } 5\cdot 3\en C_{8} \text{, por lo Tanto } 8\noen T \\
7\cdot 2\R \text{ y } 7\cdot 2\en C_{9} \text{, por lo Tanto } 9\noen T \\
7\cdot 3\R \text{ y } 7\cdot 3\en C_{10} \text{, por lo Tanto } 10\noen T
$$
Mientras que:
$$
A_{11} = \{(2,9), (3,8), (4,7), (5,6)\} \text{, y por lo }\,\,C_{11} = \{18, 24, 28, 30\}
$$
Procedemos a comprobar si existe si existe una única $P\in C_{11}$, por lo que $|D_P \cap T|=1$. Mirando a $D_{18}=\{9,11\}$, e $D_{24}=\{10,11,13\}$, y tomando nota de que $11\cdot 2\in R$$11\cdot 2\in C_{13}$, por lo $13\notin T$, podemos ver:
$$
|D_{18}\cap T| = |\{11\}| = 1\,\text{ y }\,|D_{24}\cap T| = |\{11\}| = 1
$$
Así que tenemos más de un valor que satisface la declaración. Sin embargo se requiere que el valor de ser único, por lo que debemos concluir que $S\neq 11$. El siguiente valor en $T$ después $11$$17$. Esto puede como puede verse de la siguiente manera:
$$
7\cdot 5\R \text{ y } 7\cdot 5\C_{12} \text{, por lo Tanto } 12\noen T \\
7\cdot 7\R \text{ y } 7\cdot 7\C_{14} \text{, por lo Tanto } 14\noen T \\
13\cdot 2\R \text{ y } 13\cdot 2\en C_{15} \text{, por lo Tanto } 15\noen T \\
13\cdot 3\R \text{ y } 13\cdot 3\en C_{16} \text{, por lo Tanto } 16\noen T
$$
Mientras que:
$$
A_{17} = \{(2,15),(3,14),(4,13),(5,12),(6,11),(7,10),(8,9)\},\,C_{17} = \{30, 42, 52, 60, 66, 70, 72\}
$$
Como antes, se procede a comprobar si existe si existe una única $P\in C_{17}$, por lo que $|D_P \cap T|=1$. Primero vamos a escribir los conjuntos de $D_i$ todos los $i\in C_{17}$:
$$
\begin{align}
&D_{30} = \{11, 13, 17 \} \\
&D_{42} = \{13, 17, 23 \} \\
&D_{52} = \{17, 28 \} \\
&D_{60} = \{16, 17, 19, 23, 32 \} \\
&D_{66} = \{17, 25, 35 \} \\
&D_{70} = \{17, 19, 37 \} \\
&D_{72} = \{17, 18, 22, 27, 38 \} \\
\end{align}
$$
Siguiente, podemos señalar los siguientes: Una forma rápida de comprobar si un número impar $k$ puede ser escrito como la suma de dos números primos es comprobar si $k-2$ es primo. Esto es debido a que los números primos en la suma debe tener diferentes paridad, y el único primo par es $2$. Por definición, si $k$ no puede ser escrito como $(1)$ de la suma de dos números primos, ni como $(2)$ $p^2 + p$ para algunos el primer $p$,$k\in T$. El primer par de valores de $p^2 + p$ son:
$$
\begin{array}{c|c}
p & p^2+p \\
\hline
2 & 6 \\
3 & 12 \\
5 & 30 \\
7 & 56 \\
\end{array}
$$
El uso de los datos en esta tabla junto con nuestra observación en cuanto a la forma impar itegers debe ser escrito como la suma de los números primos, llegamos a la conclusión de que $23, 27, 35, 37 \in T$, y por lo tanto:
$$
|D_i \cap T| > 1
$$
para $i \in \{30,42,60,66,70,72\}$. Finalmente, se observa que el$23\cdot 5\in R$$23\cdot 5\in C_{28}$, por lo $28\notin T$, por lo que:
$$
|D_{52}\cap T| = |\{17\}| = 1
$$
Por lo tanto, nuestro único producto es $P = 52$, y la respuesta al rompecabezas es $4$$13$.