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La Imposible rompecabezas ("Ahora sé que tu producto")

Estoy tratando de entender este problema imposible por Martin Jardinero y todavía no he encontrado una solución o un enlace a ella

Dos matemáticos S y P están discutiendo dos desconocido enteros, ambos mayores que 1. S sabe sólo la suma de las los números, mientras que el P sólo conoce su producto.:

S: "veo que no hay manera de determinar mi suma." P (después de un retardo adecuado): "Eso no me ayudó. Todavía no sé su suma." S (después de otro retraso): "Ahora sé que tu producto". ¿Cuáles son los dos números?

He visto las respuestas en el xkcd wiki enlace para esto en http://wiki.xkcd.com/irc/Talk:Puzzles#The_Sam_And_Polly_Problem dicen que el 13 y el 16 y se comprueba matemáticamente, pero luego hay más respuestas ambiguas y la mayoría de los intentos de parecer fuerza bruta en lugar de la lógica.

Mi pregunta es doble

  1. ¿Cómo resolver este problema de forma lógica?

  2. Hay más respuestas, a continuación, 13,16 o esta respuesta es sólo uno, así como el límite superior de k(límite superior de la respuesta) se cambia superior

6voto

lucas Puntos 4344

Deje $x,y$ ser números enteros mayores $1$, $P=xy$ y $S=x+y$.
Escribir $P=x_1\cdots x_n$, producto de que no necesariamente distintos de los números primos. Si $n=2$, entonces necesariamente $S=x_1+x_2$, por lo tanto, si $S$ no es la suma de dos números primos (en este caso), a sabiendas de $P$ dice nada acerca de la $S$.
Entonces, sabemos que $n\ge 3$ $S$ no es la suma de dos números primos ($S$ ni siquiera, en particular, y, a continuación, necesariamente, $P$ es par.).

Así que, necesariamente, $x$ es incluso y $y$ es impar. Si escribimos $P=2^k p_1$ donde $p_1$ es cualquier número primo, entonces necesariamente $x=2^k$$y=p_1$, por lo que, en este caso $S$ sería conocido. Entonces, en este caso, $P=2^k p_1\cdots p_m$, $m>1$ $p_i$ prime (ya que en este caso sabiendo $P$ dice nada acerca de la $S$).

Por lo $S$ es impar y el conjunto $\{xy:x+y=S,x,y>1\}$ contiene uno y sólo un número de la forma$P=2^kp_1\cdots p_m$, $p_i$ el primer y el $m>1$.

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En su enlace, la declaración es un poco diferente:

Sam (Polly): "Usted no puede saber lo que x e y son."
Polly (Sam): "Que era verdad, pero ahora lo hago."
Sam (Polly): "Ahora yo también."

Así, en este caso tenemos a $S$ extraño, no es la suma de dos números primos, y el conjunto de $\{xy:x+y=S,x,y>1\}$ contiene uno y sólo un número de la forma$2^kp$, $p$ impar primo, $k>1$, y $P=2^kp$, $x=2^k$, $y=p$. Esto excluye a varias posibilidades y el resto es la fuerza bruta (y tenemos un límite superior para$x$$y$).

0voto

fatemeh Puntos 16

Formalmente se puede definir: $$ \begin{align} &A_x=\{(a,b) \in\mathbb{N}^2 : a+b=x,\,\,1<a\le b\} \\ &B_x=\{(a,b) \in\mathbb{N}^2 : ab=x,\,\,1<a\le b\} \\ &C_x=\{ab : (a,b)\in A_x\} \\ &D_x=\{a+b : (a,b)\in B_x\} \\ &R=\{p,\,pq,\,p^3 \,:\, p,q\,\text{ are prime}. \} \\ &T=\{x : C_x \cap R=\emptyset\} \end{align} $$ Entonces el problema es encontrar el único valor de $S\in\{4,...,100\}$, de tal manera que la siguiente declaración sostiene: $$ S\T\,\text{ y }\,\existe!P\en C_S\,:|D_P \cap T|=1 $$ A continuación, $S$ es nuestra suma, y el único valor de $P$ en la declaración anterior es nuestro producto. Con un poco de esfuerzo podemos encontrar estos valores, por simple búsqueda por fuerza bruta.


Buscamos una adecuada $S$. El menor valor en $\{4,...,100\}$$T$$11$. Esto puede ser visto de la siguiente manera: $$ 2\cdot 2\R \text{ y } 2\cdot 2\en C_{4} \text{, por lo Tanto } 4\noen T \\ 3\cdot 2\R \text{ y } 3\cdot 2\en C_{5} \text{, por lo Tanto } 5\noen T \\ 3\cdot 3\R \text{ y } 3\cdot 3\en C_{6} \text{, por lo Tanto,} 6\noen T \\ 5\cdot 2\R \text{ y } 5\cdot 2\en C_{7} \text{, por lo Tanto } 7\noen T \\ 5\cdot 3\R \text{ y } 5\cdot 3\en C_{8} \text{, por lo Tanto } 8\noen T \\ 7\cdot 2\R \text{ y } 7\cdot 2\en C_{9} \text{, por lo Tanto } 9\noen T \\ 7\cdot 3\R \text{ y } 7\cdot 3\en C_{10} \text{, por lo Tanto } 10\noen T $$ Mientras que: $$ A_{11} = \{(2,9), (3,8), (4,7), (5,6)\} \text{, y por lo }\,\,C_{11} = \{18, 24, 28, 30\} $$ Procedemos a comprobar si existe si existe una única $P\in C_{11}$, por lo que $|D_P \cap T|=1$. Mirando a $D_{18}=\{9,11\}$, e $D_{24}=\{10,11,13\}$, y tomando nota de que $11\cdot 2\in R$$11\cdot 2\in C_{13}$, por lo $13\notin T$, podemos ver: $$ |D_{18}\cap T| = |\{11\}| = 1\,\text{ y }\,|D_{24}\cap T| = |\{11\}| = 1 $$ Así que tenemos más de un valor que satisface la declaración. Sin embargo se requiere que el valor de ser único, por lo que debemos concluir que $S\neq 11$. El siguiente valor en $T$ después $11$$17$. Esto puede como puede verse de la siguiente manera: $$ 7\cdot 5\R \text{ y } 7\cdot 5\C_{12} \text{, por lo Tanto } 12\noen T \\ 7\cdot 7\R \text{ y } 7\cdot 7\C_{14} \text{, por lo Tanto } 14\noen T \\ 13\cdot 2\R \text{ y } 13\cdot 2\en C_{15} \text{, por lo Tanto } 15\noen T \\ 13\cdot 3\R \text{ y } 13\cdot 3\en C_{16} \text{, por lo Tanto } 16\noen T $$ Mientras que: $$ A_{17} = \{(2,15),(3,14),(4,13),(5,12),(6,11),(7,10),(8,9)\},\,C_{17} = \{30, 42, 52, 60, 66, 70, 72\} $$ Como antes, se procede a comprobar si existe si existe una única $P\in C_{17}$, por lo que $|D_P \cap T|=1$. Primero vamos a escribir los conjuntos de $D_i$ todos los $i\in C_{17}$: $$ \begin{align} &D_{30} = \{11, 13, 17 \} \\ &D_{42} = \{13, 17, 23 \} \\ &D_{52} = \{17, 28 \} \\ &D_{60} = \{16, 17, 19, 23, 32 \} \\ &D_{66} = \{17, 25, 35 \} \\ &D_{70} = \{17, 19, 37 \} \\ &D_{72} = \{17, 18, 22, 27, 38 \} \\ \end{align} $$ Siguiente, podemos señalar los siguientes: Una forma rápida de comprobar si un número impar $k$ puede ser escrito como la suma de dos números primos es comprobar si $k-2$ es primo. Esto es debido a que los números primos en la suma debe tener diferentes paridad, y el único primo par es $2$. Por definición, si $k$ no puede ser escrito como $(1)$ de la suma de dos números primos, ni como $(2)$ $p^2 + p$ para algunos el primer $p$,$k\in T$. El primer par de valores de $p^2 + p$ son: $$ \begin{array}{c|c} p & p^2+p \\ \hline 2 & 6 \\ 3 & 12 \\ 5 & 30 \\ 7 & 56 \\ \end{array} $$ El uso de los datos en esta tabla junto con nuestra observación en cuanto a la forma impar itegers debe ser escrito como la suma de los números primos, llegamos a la conclusión de que $23, 27, 35, 37 \in T$, y por lo tanto: $$ |D_i \cap T| > 1 $$ para $i \in \{30,42,60,66,70,72\}$. Finalmente, se observa que el$23\cdot 5\in R$$23\cdot 5\in C_{28}$, por lo $28\notin T$, por lo que: $$ |D_{52}\cap T| = |\{17\}| = 1 $$ Por lo tanto, nuestro único producto es $P = 52$, y la respuesta al rompecabezas es $4$$13$.

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