Dejemos que $F$ ser un $p$ -campo de la adicción con el cierre algebraico $\overline{F}$ y que $F^{\operatorname{ur}}$ sea la máxima extensión no ramificada de $F$ . Dejemos que $E$ sea una extensión finita de $F$ . Estoy un poco oxidado en mi teoría de campo de clase local y me preguntaba: ¿es el campo compuesto $EF^{\operatorname{ur}}$ siempre es una extensión de Galois de $F^{\operatorname{ur}}$ ?
Si $[EF^{\operatorname{ur}} : F^{\textrm{ur}}]$ no es divisible por $p$ Entonces creo que la respuesta es sí. Recuerdo que para cada $n$ con $p \nmid n$ existe una extensión única $K$ de $F^{\textrm{ur}}$ de grado $n$ , igual a $F^{\operatorname{ur}}(\sqrt[n]{\varpi})$ para un uniformizador $\varpi$ de $F$ . Dado que todos los $n$ raíces de elementos de $\mathcal O_F^{\ast}$ mienten en $F^{\textrm{ur}}$ tenemos que $K$ se define independientemente de la elección del uniformizador, y es Galois sobre $F^{\operatorname{ur}}$ .
Así que un contraejemplo tendría algo que ver con la ramificación salvaje.
La razón por la que pregunto es en otro de mis preguntas, estoy considerando el grupo de inercia $\operatorname{Gal}(\overline{F}/EF^{\operatorname{ur}})$ de $E$ y esperaba que se normalizara por $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ o al menos por el grupo Weil $W_F \subseteq \operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ .
