Encuentra el siguiente problema límite

Question

Estoy tratando de encontrar el siguiente límite $$ \lim_{x\to 0} \left({1-\sin x } {\cos x}\right)^{{ \csc 2x} }$$ Cómo demostrar que el límite anterior es igual a $e^{-{1\over2}}$ ?

Answer 1

SUGERENCIA:

$$(1-\sin(x)\cos(x))^{\csc(2x)}=\left(1-\frac1{2\csc(2x)}\right)^{\csc(2x)}$$

Dejemos que $t=2\csc(2x)$ . Entonces, tenemos

$$\lim_{x\to 0^+}(1-\sin(x)\cos(x))^{\csc(2x)}=\lim_{t\to \infty}\left(1-\frac{1}{t}\right)^{\frac t2}$$

Answer 2

$$ \lim_{x\to 0} \left(1-\sin x \cos x\right)^{\csc 2x}=\lim_{x\to 0} \left(1-\sin x \cos x\right)^{\frac{1}{\sin 2x}}=$$ $$ \lim_{x\to 0} \left(1-\sin x \cos x\right)^{\frac{1}{\sin x\cos x}\frac{1}{2}}=e^{-1\cdot\frac{1}{2}}$$

Answer 3

SUGERENCIA:

$(1-\sin x \cos x)^{\csc 2x}=(1-\sin x \cos x)^{\frac{1}{\sin 2x}}=\left[(1-\sin x \cos x)^{\frac{1}{\sin x \cos }}\right]^{\sin x \cos x \cdot \frac{1}{\sin 2x}}=\left[(1-\sin x \cos x)^{\frac{1}{\sin x \cos }}\right]^{\sin x \cos x \cdot \frac{1}{2 \sin x \cos x}}=\left[(1-\sin x \cos x)^{\frac{1}{\sin x \cos }}\right]^{\frac{1}{2 }}$

Answer 4

La forma en que aparece la fórmula, $$ \begin{align} \lim_{x\to 0}\left(1-\sin(x)\cos(x)\right)^{\csc(2x)} &=\lim_{x\to 0}\left(1-\frac12\sin(2x)\right)^{\csc(2x)}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(1-\frac1{2\csc(2x)}\right)^{\csc(2x)}\\[4pt] &=e^{-1/2} \end{align} $$ Sin embargo, el LaTeX parece indicar que el problema puede haber querido pedir $$ \begin{align} &\lim_{x\to 0}\left((1-\sin(x))\cos(x)\right)^{\csc(2x)}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(1-\sin(x)\right)^{\csc(2x)}\cos(x)^{\csc(2x)}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(1-\sin(x)\right)^{\csc(2x)}\left(1-\sin^2(x)\right)^{\csc(2x)/2}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(1-\sin(x)\right)^{3\csc(2x)/2}\left(1+\sin(x)\right)^{\csc(2x)/2}\\ &=\lim_{x\to 0}\left(1-\frac1{\csc(x)}\right)^{3\csc(x)\sec(x)/4}\lim_{x\to 0}\left(1+\frac1{\csc(x)}\right)^{\csc(x)\sec(x)/4}\\[4pt] &=e^{-3/4}e^{1/4}\\[9pt] &=e^{-1/2} \end{align} $$ Ambas interpretaciones dan la respuesta deseada ya que como $x\to0$ , $\csc(x)\to\infty$ .