Es $S{(x)}$ será uniformemente convergente en $[-1,1]$ ? Verdadero/falso .

Question

Es $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^2 (1-x^2)^{n-1}$ será uniformemente convergente en $[-1,1]$ ? Verdadero/falso .

Mi intento : Sí , $S_n$ será uniformemente convergente en $[-1,1]$ si pongo $x = \frac{1}{\sqrt n}$ entonces por $M_n$ Prueba $||f||_{ \infty}= \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n} (\frac{ n-1}{n})^{n-1}= \lim_{\rightarrow \infty} \frac{1}{n} \frac{1}{e}=0$

¿Es cierto?

Cualquier sugerencia/solución será apreciada

Gracias

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$\sup_{x \in [-1,1]}\left|\sum_{k=n+1}^\infty x^2(1-x^2)^{k-1}\right| \geqslant \sup_{x \in [-1,1]}\sum_{k=n+1}^{2n} x^2(1-x^2)^{k-1} \geqslant \sup_{x \in [-1,1]}nx^2(1-x^2)^{2n} $$

Toma $x^2 = 1/(2n)$ Es decir $x = \pm1/\sqrt{2n} \in [-1,1]$ y se deduce que

$$\sup_{x \in [-1,1]}\left|\sum_{k=n+1}^\infty x^2(1-x^2)^{k-1}\right| \geqslant \frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{2n}\right)^{2n}$$

Dado que el límite de la RHS como $n \to \infty$ es $e^{-1}/2 \neq 0$ la convergencia no es uniforme en $[-1,1]$ .