¿Cuál es la condición suficiente para el valor de la función integrable $f\in L^1(\mathbb{R})$ para ir a $0$ cuando $|x|\rightarrow \infty$ ?

Question

¿Cuál es la condición suficiente para el valor de la función integrable $f\in L^1(\mathbb{R})$ para ir a $0$ cuando $|x|\rightarrow \infty$ ?

Caso 1: $f $ es diferenciable en $\mathbb{R}$ .

Caso 2: $f$ es ddiferenciable en $\mathbb{R}$ y $\int_{\mathbb{R}} |f'|<\infty$ .

Creo que el caso 1 es suficiente para demostrar $\lim_{|x|\rightarrow \infty} f(x)=0$ porque $f$ es diferenciable en todas partes, por lo que f es al menos continua en $\mathbb{R}$ . Por la integral de $f$ podemos conseguir $\lim\sup_{|x|\rightarrow \infty}|f(x)|=0$ Si no, podemos encontrar un contraejemplo. ¿Es eso correcto?

Entonces estoy pensando que si cambiamos la condición '' $f$ es diferenciable'' para ser '' $f$ es diferenciable en casi todas partes'', entonces ¿qué ocurre?

Answer 1

A] Consideremos una función suave, nula fuera de $[0,1]$ . Ahora considere $$ g(x) = \sum f(n^2(x-n)) $$

Entonces $\limsup g = \sup f$ y como $\sum n^{-2}<\infty$ , $\int|g|<\infty$ .

B] Considere una secuencia $x_n$ aumentando a $\infty$ . Entonces la secuencia $f(x_n)$ es una secuencia de Cauchy: $$|f(x_{n+p}) - f(x_n)| =\left| \int_{x_{n}}^{x_{n+p}}f'\right| \le \int_{x_{n}}^{\infty}|f'| = \epsilon_n \to 0 $$ por lo que la secuencia converge. El único límite posible es $0$ .

edit: añadido B.

Answer 2

Dejemos que $f\in L^{1}(\mathbb R).$ Supongamos también que, su Transformación de Fourier , $\hat{f}\in L^{1}(\mathbb R).$ Entonces $f$ es continua y desaparece en el infinito. (Por la fórmula de inversión, y el lema de Reimann Lebesgue)

Answer 3

La condición que quieres es la continuidad uniforme. Con la mera continuidad, se puede imaginar una función continua que consiste en un número contable de triángulos centrados en $2,3,\dots$ de altura $1$ y la anchura $1/4,1/9,\dots,1/n^2,\dots$ . Incluso se puede imaginar que son de altura $n$ y la anchura $1/8,1/27,\dots,1/n^3,\dots$ si quieres que la función no tenga límites. Tampoco es un gran problema suavizar este ejemplo si se quiere asumir una cierta diferenciabilidad.

Con la continuidad uniforme, si hay alguna $\varepsilon$ para que un tamaño arbitrario de $x$ satisfacer $|f(x)| \geq \varepsilon$ entonces cada uno de estos $x$ suministra un intervalo de un fijo ancho $\delta$ en el que $|f(z)| \geq \varepsilon/2$ y así se termina con un número contable de intervalos que contribuyen cada uno a $\varepsilon \delta/2$ a la integral, lo que hace que $f \notin L^1$ .