Dejemos que $p$ y $q = 2p + 1$ sean primos Impares. Demuestre que $(−1) ^{\frac{p−1}{ 2}} 2$ es una raíz primitiva módulo q.

Question

Dejemos que $p$ y $q = 2p + 1$ sean primos Impares. Demuestre que $(1) ^{\frac{p1}{ 2}} 2$ es una raíz primitiva módulo q.

Vemos que nuestro número debe tener orden $q-1$ para ser una raíz primitiva. Si comprobamos los divisores que son $1,2,p,2p$ y ver que $\left((1) ^{\frac{p1}{ 2}} 2\right)^\frac{q-1}{d} \equiv 1 \pmod{q}$ estamos acabados.

Obviamente $1$ y $2$ fallan por lo que tenemos que comprobar $p$ .

$p = \frac{q-1}{2}$ Así que vemos $\left((1) ^{\frac{p1}{ 2}} 2\right)^\frac{q-1}{d} \equiv \left((1) ^{\frac{p1}{ 2}} 2\right)^2 \equiv 4 \pmod{q}$ . Así que esto también falla. El único que se puede comprobar es $2p$ pero que es igual a $q-1$ así que hemos terminado.

Kees

Answer 1

Es decir, queremos demostrar $\left((-1)^{\frac{p-1}{2}}2\right)^{d}\not\equiv 1\pmod{q}$ para todos $d\in\{1,2,p\}$ .

Si $(-1)^{\frac{p-1}{2}}2\equiv 1\pmod{q}$ entonces $\pm 2\equiv 1\pmod{q}$ Así que $q=3$ que no es de la forma $2p+1$ .

Si $\left((-1)^{\frac{p-1}{2}}2\right)^2\equiv 1\pmod{q}$ entonces $4\equiv 1\pmod{q}$ es decir $q=3$ que no es de la forma $2p+1$ .

Si $\left((-1)^{\frac{p-1}{2}}2\right)^p\equiv 1\pmod{q}$ , entonces comprobamos dos casos:

$1)\ \ $ $p\equiv 1\pmod{4}$ . Entonces $\left((-1)^{\frac{p-1}{2}}2\right)^p\equiv 2^p\pmod{q}$ Así que $2^p\equiv 1\pmod{q}$ . Por El criterio de Euler $2^p\equiv 2^{\frac{q-1}{2}}\equiv \left(\frac{2}{q}\right)\pmod{q}$ , por lo que debemos tener $\left(\frac{2}{q}\right)=1$ es decir, por Reciprocidad cuadrática $q\equiv \pm 1\pmod{8}$ . Sin embargo, también $q=2p+1\equiv 2\cdot 1+1\equiv 3\pmod{4}$ Así que $q\equiv -1\pmod{8}$ Así que $-1\equiv 2p+1\pmod{8}$ es decir $p\equiv 3\pmod{4}$ que se contradice con $p\equiv 1\pmod{4}$ .

$2)\ \ $ $p\equiv 3\pmod{4}$ . Entonces $\left((-1)^{\frac{p-1}{2}}2\right)^p\equiv -2^p\pmod{q}$ Así que $-2^p\equiv 1\pmod{q}$ . Por El criterio de Euler $2^p\equiv 2^{\frac{q-1}{2}}\equiv \left(\frac{2}{q}\right)\pmod{q}$ , por lo que debemos tener $\left(\frac{2}{q}\right)=-1$ es decir, por Reciprocidad cuadrática $q\equiv \pm 3\pmod{8}$ . Sin embargo, también $q=2p+1\equiv 2\cdot 3+1\equiv 3\pmod{4}$ Así que $q\equiv 3\pmod{8}$ Así que $3\equiv 2p+1\pmod{8}$ es decir $p\equiv 1\pmod{4}$ que se contradice con $p\equiv 3\pmod{4}$ .