Si $z \in\mathbb { C } $ es un número entero algebraico, entonces $\Pi_z \in\mathbb {Z} [X] $ .

Question

Un número complejo $z $ se llama número algebraico si existe $P \in\mathbb {Q }[X]\setminus\{0\} $ tal que $P (z) = 0$ .

Decimos que $x\in\mathbb {C} $ es un entero algebraico si existe un polinomio mónico $P\in\mathbb {Z} [X] $ unitario tal que $P (x) = 0$ .

fijamos un número algebraico $z $ . El conjunto $$ I (z) = \{P \in\mathbb {Q}[X]\ :P (z) = 0\} $$ es un ideal de $\mathbb {Q}[X]$ . Por tanto, existe un único polinomio mónico $\Pi_z \in\mathbb {Q}[X]$ , llamado polinomio mínimo de $z$ , de tal manera que $$I (z) = \{\Pi_z Q :Q \in\mathbb {Q}[X]\}.$$

Admitimos los siguientes resultados:

(1) El conjunto de los enteros algebraicos es un subring de $\mathbb {C} $ .

(2) Si $x \in\mathbb {Q}$ es un número entero algebraico, entonces $x\in\mathbb {Z}$ .

Problema

Demuestre que si $z\in\mathbb { C } $ es un número entero algebraico, entonces $\Pi_z \in\mathbb {Z} [X] $ .

Una idea por favor

Answer 1

En realidad hay una prueba sencilla que no implica algunas consideraciones no triviales sobre $\mathbb{Z}[X]$ dado lo que admite.

Las raíces de $\Pi_z$ son todos enteros algebraicos (porque $\Pi_z$ divide un polinomio mónico con coeficientes integrales). Así que los coeficientes de $\Pi_z$ (por las relaciones de Vieta) son también números enteros algebraicos y racionales. Así que son números enteros.

Answer 2

Fijar un entero algebraico no nulo $k$ .

Demostrar que hay alguna mónica $p\in \mathbf Z[x]$ que es irreducible (en $\mathbf Z[x]$ ) y tal que $p(k)=0$ (para ver esto, observe que un factor propio de un polinomio mónico sobre $\mathbf Z[x]$ también es mónico, hasta el signo, de grado inferior, y utilizar la inducción con respecto al grado).

Entonces, por Gauss, se deduce que $p$ es irreducible en $\mathbf Q[x]$ Así que $p=\Pi_k$ .