Distribución Bernoulli

Question

Tengo un problema en el que hay M usuarios que tienen que elegir entre un conjunto de N posibles opciones. Quiero estimar la probabilidad media de que n los artículos no son elegidos por nadie. Modelé esto como una distribución Bernoulli como:

$$P(n=k) = \left(\frac{n}{k}\right)\left(1 - \frac{1}{N}\right)^{M*k}\left(1 - \left(1 - \frac{1}{N}\right)^M\right)^{N-k}$$

y luego multiplico y sumo:

$$ A = \sum_{i=1}^{N} i * P(n = i) $$

Sin embargo, también implementé un pequeño programa que demuestra empíricamente esto, y veo que como M aumento, obtengo algunos pequeños errores (como el 2-3 %). Me pregunto si me he perdido algo en la modelización de Bernoulli, ya que estoy 100% seguro de mi pequeño programa, o si hay que elegir algo diferente a Bernoulli.

Answer 1

La probabilidad de $n=k$ artículos no elegidos en absoluto después de $M$ elecciones al azar de $N$ con la sustitución es $$\Pr(n=k)=S_2(M,N-k) \dfrac{ N!}{k! \, N^M} $$ donde $S_2$ es un Número de Stirling del segundo tipo .

El número previsto de huecos $E[n] = \sum_k k \Pr(n=k)$ es más fácil de calcular de otra manera: la probabilidad de que un individuo no elija un elemento concreto es $1-\frac{1}{N}$ para que no sea elegido por $M$ personas es $\left(1-\frac{1}{N}\right)^M$ por lo que el número total esperado no elegido es $$E[n]=N\left(1-\frac{1}{N}\right)^M.$$