Reducción ad absurdum en Chiswell&Hodges

Question

Sobre eso sistema de deducción natural que se utiliza al principio de Chiswell&Hodges . Puedo introducir el secuencial $\{a,\neg a\} \vdash b$ donde $b$ es una proposición arbitraria? En otras palabras, esta regla dice que del absurdo se sigue cualquier cosa.

Lo que me confunde es que la norma del libro dice que si hay $a$ y $\neg a$ y tienes alguna suposición, por ejemplo $\neg c$ se puede eliminar el signo de negación de la suposición e introducir $c$ . Pero la propuesta $b$ no es una suposición en mi sistema, es arbitraria. Creo que puedo poner $\neg b$ como una suposición vacía en la derivación, pero ¿es lícito que aparezca de sopetón?

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EDITAR : Si quiero demostrar una afirmación arbitraria $\psi$ desde el absurdo, no creo que esta forma funcione (¿qué regla debo aplicar?):

Se me ha ocurrido esto. Aquí he encontrado una manera de poner $\psi$ como una suposición:

Answer 1

Puede ser más claro si se miran las reglas de la negación en sus formas secuenciales en las páginas 26/27 de su Lógica matemática . Dos de ellos, simplificados, son

( $\neg$ E) Si $\Gamma\vdash\phi$ y $\Gamma\vdash\neg\phi$ son ambos correctos, entonces $\Gamma\vdash\bot$ es correcto.

(RAA) Si $\Gamma\cup\{(\neg\phi)\} \vdash\bot$ es correcto, entonces también lo es $\Gamma \vdash\phi$

Así que tenemos el siguiente argumento

$A, \neg A, \neg B \vdash A$ y también $A, \neg A, \neg B \vdash \neg A$ [dos aplicaciones de la propiedad básica de $\vdash$ La regla del axioma de la p. 8]

$A, \neg A, \neg B \vdash \bot$ [por $\neg$ E]

$A, \neg A, \vdash B$ [por RAA]

Así es como se utiliza el RAA [en el sistema de C&H en su versión secuencial] para derivar cualquier conclusión que se quiera de un par contradictorio.

Ahora piensa en cómo se refleja esto en la versión de deducción natural de su sistema.