¿Qué significa ortogonal en el contexto de la estadística?

Question

En otros contextos, ortogonal significa "en ángulo recto" o "perpendicular".

¿Qué significa ortogonal en un contexto estadístico?

Gracias por cualquier aclaración.

Answer 1

Según http://terpconnect.umd.edu/~bmomen/BIOM621/LineardepCorrOrthogonal.pdf La independencia lineal es una condición necesaria para la ortogonalidad o la descorrelación. Pero hay distinciones más finas, en particular, la ortogonalidad no es la descorrelación.

Answer 2

Hice una pregunta similar ¿Cuál es la relación entre la ortogonalidad y la expectativa del producto de RVs y reproduzco aquí la respuesta. Aunque la ortogonalidad es un concepto del Álgebra Lineal, y significa que el producto-punto de dos vectores es cero, el término se utiliza a veces de forma imprecisa en estadística y significa no correlación. Si dos vectores aleatorios son ortogonales, entonces su contraparte centralizada no está correlacionada, porque la ortogonalidad (producto punto cero) implica la no correlación de los vectores aleatorios centralizados (a veces la gente dice que la ortogonalidad implica que el momento cruzado es cero). Siempre que tengamos dos vectores aleatorios $(X,Y)$ siempre podemos centralizarlos en torno a sus medios para que su expectativa sea nula. Supongamos la ortogonalidad ( $X\cdot Y=0$ ), entonces la correlación de las variables aleatorias centralizadas son $$Cov(X-E[X],Y-E[Y]) = E[X\cdot Y]= E[0]=0\implies \\Corr(X-E[X],Y-E[Y])=0$$

Answer 3

En econometría, el supuesto de ortogonalidad significa que el valor esperado de la suma de todos los errores es 0. Todas las variables de un regresor son ortogonales a sus términos de error actuales.

Matemáticamente, la hipótesis de ortogonalidad es $E(x_{i}·_{i}) = 0$ .

En términos más sencillos, significa que un regresor es "perpendicular" al término de error.

Answer 4

Supongamos un proceso aleatorio x(t), por lo que y1=cos(x(t)) e y2= sin(x(t)), ambos son procesos aleatorios. Es evidente que y1 es ortogonal respecto a y2, es decir, E[y1.y2] = 0. Sin embargo, sí son dependientes entre sí. En realidad, ambos se basan en el mismo proceso aleatorio. Por tanto, no es necesario que los procesos ortogonales sean independientes. La independencia en los procesos aleatorios significa que si se conoce un proceso, no se podrá llegar a ninguna conclusión sobre el otro. Sin embargo, este no es el caso de los procesos ortogonales. No obstante, supongamos dos procesos aleatorios independientes z1, z2 en los que al menos uno de ellos tiene media cero, entonces E[z1.z2]=E[z1].E[z2]=0. Matemáticamente, esto es lo mismo que la condición de ortogonalidad, pero geométricamente, ¡no es necesario!

Answer 5

Las variables aleatorias relacionadas significan que las variables digamos X e Y pueden tener cualquier relación; puede ser lineal o no lineal. Las propiedades de independencia y ortogonalidad son las mismas si las dos variables están relacionadas linealmente.