¿Existe una expresión de forma cerrada para $\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom{2n}{2k}$ ?
Un alumno del que soy tutor me preguntaba sobre esto y yo no lo sabía. Sé que si esto tuviera un $k$ en lugar de $2k$ esta suma sería simplemente $(2n)^n$ pero la suma de los pares complica las cosas. ¿Hay alguna forma asintótica para esto?
El conjunto de subconjuntos pares de $\{1,\ldots,2n\}$ está en biyección con el conjunto de potencias de $\{1,\ldots,2n-1\}$ : En una dirección, sólo hay que dejar caer $2n$ si es necesario, en la otra dirección hacer o no añadir $2n$ para garantizar una paridad correcta. Esta biyección muestra que $$\sum_{k=0}^n{2n\choose 2k}=2^{2n-1}. $$
Desde $\binom{2n}{k}$ es el número de subconjuntos de $\{1,\ldots,2n\}$ con exactamente $k$ -elementos, $$\sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k} = \binom{2n}{0} + \binom{2n}{2} + \binom{2n}{4} + \ldots + \binom{2n}{2n}$$ es el número de subconjuntos de $\{1,2,\ldots,2n\}$ que tienen un número par de elementos.
Para cualquier conjunto finito no vacío $X$ exactamente la mitad de los subconjuntos de $X$ tienen cardinalidad par, y la otra mitad tiene cardinalidad impar. Para ver esto, fija algún elemento $p \in X$ . Definir una función $f : \mathscr{P}(X) \to \mathscr{P}(X)$ por
$$ f(A) = \begin{cases} A \cup \{p\} & \text{ if } p \notin A \\ A \setminus \{p\} & \text{ if } p \in A \\ \end{cases} $$
El efecto de $f$ es alternar si $p$ pertenece a un subconjunto. Nota: $f$ es una biyección. De hecho, $f \circ f = \mathrm{id}$ Así que $f$ es su propia inversa. Además, la cardinalidad de $f(A)$ es siempre $1$ de la cardinalidad de $A$ . Así que, $f$ mapea los subconjuntos de cardinalidad par a los subconjuntos de cardinalidad impar, y viceversa.
En conclusión, hay que $$ \sum_{k=0}^{n} \binom{2n}{2k} = \frac{\text{the number of subsets of $ \1,2, puntos, 2n $}}{2} = \frac{2^{2n}}{2} = 2^{2n-1}$$
Permítanme añadir otra forma de obtener la misma respuesta basada en el Triángulo de Pascal. Como sabes, la suma de todos los elementos de la fila $a=2^a$ . Tomar elementos consecutivos de la fila $2n-1$ y emparejarlos. La suma de cada par es igual a $\binom{2n}k$ para algunos impar $k$ . La suma de $\binom{2n}k$ para todos los impar $k$ es igual a la suma de todos estos pares, la suma de todos los elementos de la fila $2n-1$ , $2^{2n-1}$ . La suma de $\binom{2n}k$ para todos incluso $k$ entonces es simplemente la suma de todos los elementos de la fila $2n$ menos la suma de todos los impar $k$ .
$$2^{2n}-2^{2n-1}=2^{2n-1}$$
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