Resolución de un sistema de ecuaciones indeterminado

Question

He tenido un pequeño descanso en la resolución de sistemas de ecuaciones y por eso quería verificar aquí que mi propia respuesta a este problema es 100% correcta y está hecha :) Así que tengo el siguiente problema:

Resuelve el sistema de ecuaciones:

$$3x_1+x_2-4x_3+5x_4=2$$ $$2x_1-3x_2-2x_3+3x_4=5$$

Mi intento:

Como se trata de un sistema subdeterminado, tendremos una cantidad infinita de soluciones. Resolveré $x_1$ y $x_2$ explícitamente en términos de $x_3$ y $x_4$ . Multiplicando la primera ecuación por $3$ y sumándolo al segundo obtenemos:

$$11x_1-14x_3+18x_4=11$$

$$x_1=1+\frac{14}{11}x_3-\frac{18}{11}x_4$$

Sustituyendo $x_2$ en la primera ecuación obtenemos:

$$3\left(1+\frac{14}{11}x_3-\frac{18}{11}x_4\right)+x_2-4x_3+5x_4=2$$

De lo cual obtenemos

$$x_2=\frac{2}{11}x_3-\frac{1}{11}x_4-1$$

Así que la solución es:

$$x_1=1+\frac{14}{11}x_3-\frac{18}{11}x_4$$ $$x_2=\frac{2}{11}x_3-\frac{1}{11}x_4-1,$$

donde $x_3,x_4$ son variables libres.

Answer 1

Tenga en cuenta que

$$ \DeclareMathOperator{rref}{rref} \rref \begin{bmatrix} 3 & 1 & -4 & 5 & 2 \\ 2 & -3 & -2 & 3 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -\frac{14}{11} & \frac{18}{11} & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{2}{11} & \frac{1}{11} & -1 \end{bmatrix} $$ Esto implica \begin{align*} x_1 &= \frac{14}{11}\,x_3-\frac{18}{11}\,x_4+1 \\ x_2 &= \frac{2}{11}\,x_3-\frac{1}{11}\,x_4-1 \end{align*} lo que confirma su respuesta.

¿Sabes cómo reducir una matriz a su forma reducida? Es un método mucho más eficaz que la sustitución.