Pregunta sobre la base

Question

Tengo que demostrar que $1, (1-t), (1-t)^2$ y $(1-t)^3$ es una base de for $P^{3}$ pero no estoy seguro de cómo iniciar este problema.

También tengo que encontrar las coordenadas de $p(t) = 1 +t^3$

Gracias por la ayuda

Answer 1

Tienes que demostrar que se extienden y que son linealmente independientes. Yo empezaría por demostrar la independencia lineal. Empieza con $$a + b(1-t) + c(1-t)^2 + d(1-y)^3 = 0.$$ Entonces, expandiendo y comparando los coeficientes, demuestre que $d = c = b = a = 0$ .

Ahora bien, si usted sabe algo sobre la dimensión, entonces ha terminado, porque la dimensión de $P_3$ es $4$ . Si no es así, tendrás que demostrar que la base se extiende, por lo que tendrás que demostrar, dado $$f = a + bt + ct^2 + d^3,$$ cómo expresar $f$ como una combinación lineal de la base. Esto es un poco complicado de escribir, pero no debería ser difícil.

Answer 2

La primera pregunta se desprende directamente del cambio de variable $u = 1-t$ .

La misma idea puede utilizarse para la segunda pregunta: $$ 1+t^3 = 1 + (1-u)^3 = 1 + (1-3u+3u^2 - u^3) = 2 - 3u + 3u^2 - u^3 $$

Answer 3

El operador $\phi:P^3\longrightarrow P^3$ definido por $\phi(P)(t)=P(t-1)$ es un isomorfismo de inversa dado por $\phi^{-1}(Q)(t)=Q(t+1)$ . Por lo tanto, se toma cada base en una base. Partiendo de la base canónica $\{p_0(t)=1, p_1(t)=t, p_2(t)=t^2, p_3(t)=t^3\}$ obtenemos la base $$\{\phi(p_0)(t)=1, \phi(p_1)(t)=t-1, \phi(p_2)(t)=(t-1)^2, \phi(p_3)(t)=(t-1)^3\}.$$

Para encontrar las coordenadas de $p(t)=1+t^3$ en la nueva base, buscamos escalares $a_j$ tal que $$ p(t)=a_0+a_1(t-1)+a_2(t-1)^2+a_3(t-1)^3. $$ Cambiar $t$ para $t+1$ Esto equivale a $$ p(t+1)=a_0+a_1t+a_2t^2+a_3t^3. $$ Ahora $p(t+1)=1+(t+1)^3=\ldots$ ? Desarrollar utilizando el teorema del binomio .