encontrar el cierre, el interior y el límite de S

Question

Para el siguiente ejemplo:

Sea el espacio topológico $X$ sea la línea real $\mathbb{R}$ . Un conjunto abierto es cualquier conjunto cuyo complemento es finito. Sea $S=[0,1]$ . Encuentra el cierre, el interior y el límite de $S$ .

¿Qué significa dejar que el espacio topológico $X$ sea la línea real $\mathbb{R}$ ?

Answer 1

Una pista. Vamos $\tau$ es la topología de su pregunta. Puedes pensar en una forma más concreta de explicar la cara de esta topología abierta.Si $O\in \tau$ y $O\neq \emptyset$ entonces $O^c$ es finito. Es decir, hay $n$ números $x_1<x_2<\ldots, x_{n-1}<x_n$ tal que $O^c=\{x_1, \ldots, x_n\}$ . Entonces, $$ O=(-\infty,x_1)\cup( x_1,x_2)\cup\ldots\cup( x_{n-1},x_n)\cup(x_n,\infty) $$ Esto significa que cada abierto no vacío $O\in\tau$ contiene al menos dos intervalos de tipo infinito $$ (-\infty,a) \mbox{ and } (b,+\infty) \mbox{ with } a\leq b. $$ Por tanto, el único abierto que puede estar contenido en el conjunto S es el vacío. Ya que, por definición, el interior de un conjunto $S$ es la unión de todos los abiertos contenidos en $S$ entonces el interior de $S$ es el conjunto vacío ( $S$ contiene sólo un conjunto vacío).

Answer 2

Lo que debería decir es que $X$ sea un espacio topológico en $\Bbb{R}$ cuyos conjuntos abiertos consisten en todos los subconjuntos de $\Bbb{R}$ que tienen un complemento finito en $\Bbb{R}$ .