límite superior de una función $n^{1/\log(n)}$

Question

Tengo la siguiente expresión
$n^{1/\log(n)}, \quad where \quad n \in [1, 10,000]$ .
Cuando resuelvo este numeral, obtengo el valor resultante 2.718282 para todos $n \in [2, 10,000]$ . Sobre esta base, puedo considerar el límite superior 3, significa que
$n^{1/\log(n)} < 3 \quad \forall \, n \in [1, 10000]$ . La pregunta es cómo puedo demostrar analíticamente que el límite superior de esta expresión es menor que 3.

Answer 1

Utilizamos el propiedad conocida que $$a^b=e^{b\ln a}$$ donde $e$ es el constante matemática igual a aproximadamente 2,71. Aplicando a este contexto, $$n^{1/\ln n}=e^{(ln n)/(\ln n)}=e^1=e$$

Answer 2

Tenemos $$f (x) = x^{1/\log x} = e^{\log x \cdot 1/\log x} \equiv e.$$ Así que, $f$ es una función constante y para todo $x \in (0, +\infty) - \{1\}$ su valor es $e = 2.71828\cdots$ .

Answer 3

$$e=1+\frac11+\frac12+\frac1{3!}+\frac1{4!}+\frac1{5!}\cdots<1+1+\frac12+\frac1{2^2}+\frac1{2^3}+\frac1{2^4}\cdots=3.$$