Suponiendo que la interpretación de Zev sea correcta:
Recuerde que cada elemento de $F[x]$ define un elemento de $F^F$ (el conjunto de todas las funciones de $F$ a $F$ ) por "evaluación": dado $a(x)\in F[x]$ , $$a(x) = a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n,\qquad a_i\in F,$$ definimos la función $a\colon F\to F$ por $$a(r) = a_0 + a_1r + \cdots + a_nr^n,$$ es decir, $a$ es la función inducida por el mapeo $x\to r$ y utilizando la propiedad universal de $F[x]$ .
La pregunta es entonces: ¿cuándo dos polinomios definen el mismo función polinómica ?
(Al principio, estamos acostumbrados a pensar en los polinomios y las funciones polinómicas como si fueran lo mismo; pero formalmente no son lo mismo, y esta pregunta está precisamente diseñada para explorar la distinción).
Teorema. Si $F$ es infinito, entonces dos polinomios en $F[x]$ definen la misma función polinómica $F\to F$ si y sólo si son idénticos. Si $F$ es finito, de orden $p^n$ entonces $a(x)$ y $b(x)$ en $F[x]$ definen la misma función polinómica si y sólo si dejan el mismo resto cuando se dividen por $x^{p^n}-x$ .
Prueba. Supongamos que $a(x),b(x)\in F[x]$ son tales que $a(r)=b(r)$ para todos $r\in F$ . Dejemos que $c(x) = b(x)-a(x)$ . Entonces $c(r)=0$ para todos $r\in F$ . Si $F$ es infinito, esto implica que el grado de $c$ es $0$ (ya que un polinomio de grado $n$ tiene como máximo $n$ raíces distintas). Esto demuestra la primera parte.
Supongamos ahora que $F$ es finito de orden $p^n$ . El grupo multiplicativo de elementos no nulos de $F$ es un grupo cíclico de orden $p^{n}-1$ por lo que por el Teorema de Lagrange sabemos que $r^{p^n-1}=1$ para todos $r\in F$ , $r\neq 0$ y por lo tanto, $r^{p^n}=r$ para todos $r\in F$ . En particular, el polinomio $x^{p^n}-x$ define la función constante $0$ . Por el Teorema del Factor, $$x^{p^n}-x = \prod_{r\in F}(x-r).$$
Supongamos primero que $a(x)$ y $b(x)$ definen la misma función $F\to F$ . Procediendo como en el caso anterior, vemos que $c(x)$ desaparece en cada elemento de $F$ . Por el Teorema del Factor, $x-r$ divide $c(x)$ por cada $r\in F$ Así que $x^{p^n}-x | c(x)$ . Por lo tanto, $x^{p^n}-x$ divide $a(x)-b(x)$ lo que significa que $a(x)$ y $b(x)$ tienen el mismo resto cuando se dividen por $x^{p^n}-x$ .
Por el contrario, si $a(x) \equiv b(x) \pmod{(x^{p^n}-x)}$ entonces podemos escribir $b(x) = a(x) + k(x)(x^{p^n}-x)$ . Evaluar en $r\in F$ tenemos $$b(r) = a(r) + k(r)(r^{p^n} - r) = a(r)+k(r)(0) = a(r),$$ así que $b(x)$ define la misma función $F\to F$ como $a(x)$ como se ha reclamado. $\Box$