Múltiples valores singulares

Question

En muchos textos que he visto sobre la descomposición del valor singular, sólo se dice que hay tantos valores singulares distintos de cero como el rango de la matriz $A$ que se va a descomponer.

Ahora he mirado diferentes ejemplos en la red y en todas partes estos valores singulares son distintos. Pero según he entendido la prueba de la descomposición del valor singular, efectivamente hay $r$ valores singulares (si $rank(A)=r)$ pero pueden aparecer más de una vez: En concreto, aparecen tantas veces como la multiplicidad algebraica del valor propio, que corresponde a este valor singular (ya que la suma de todas las multiplicidades algebraicas de todos los valores propios no nulos es $r$ ).

¿Es esto correcto? ¿Podría alguien darme un ejemplo de una matriz $A$ , de manera que esto ocurra, es decir, de manera que $A^*A$ tiene valores propios con multiplicidad algebraica $>1$ ?

Answer 1

Se puede construir una matriz a partir de sus valores singulares empezando por una matriz diagonal con entradas no negativas. Concretamente, para cualquier elección $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[0,\infty)$ la matriz $$ A=\begin{bmatrix}\alpha_1 \\ & \ddots \\ & & \alpha_n\end{bmatrix} $$ tiene valores singulares $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ . Y, por supuesto, puedes elegirlos con tantas repeticiones como quieras. Incluso pueden ser todas iguales, como en el ejemplo de Gerry: $\alpha_1=\cdots=\alpha_n=1$ .