Prueba por inducción de que $\sum_{j=0}^n 2^j = 2^{n+1} - 1$

Question

Estoy intentando resolver una prueba previa para un examen, y no hay soluciones. El problema que estoy tratando de resolver es

Si $n$ es un número natural, entonces $1 + 2 + 2^2 + 2+3 + ... + 2^n = 2^{n+1} -1$

$$\forall n \in\mathbb N,\,\sum\limits_{j=0}^n{2^j} = 2^{n+1} - 1$$

Estoy bastante seguro de que esto es una prueba por inducción, pero sólo puedo llegar hasta aquí.

Dejemos que $P(n)$ sea $\sum\limits_{j=0}^n{2^j} = 2^{n+1} - 1$

Prueba $P(1)$ :
$3 = 3$ , Cierto.

Prueba $\forall n \in\mathbb N,\,P(n) \implies P(n+1)$ : Supongamos que $n \in \mathbb N$
Entonces, $n = 0 \lor n > 0$

Caso $1$ : Supongamos que $n = 0$ :
Entonces $1 = 1$ , Cierto.

Caso $2$ : Supongamos que $n > 0$ :
... Estoy atascado probando realmente que $P(n) \implies P(n + l)$

Answer 1

Dejemos que $S_n=\sum_{j=0}^n 2^j$ . Entonces,

$$S_{n+1}=S_n+2^{n+1}=2^{n+1}-1+2^{n+1}=2^{n+2}-1$$

Answer 2

Supongamos que el caso $P(n)$ retenciones. Es decir, tenemos

$$ 1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1 $$

Queremos mostrar el caso $P(n+1)$ está implícito en $P(n)$ . Aviso

$$ 1 + 2^1 + 2^2 + ... + 2^n + 2^{n+1} = 2^{n+1} - 1 + 2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n+1} - 1 = 2^{n+2} - 1$$

Por lo tanto, $P(n) \implies P(n+1)$ y el problema se resuelve ahora por el principio de inducción matemática.

Espero que esto ayude.