Resolver esto $4$ ecuación diofantina variable

Question

¿Hay alguna manera de resolver esta ecuación diofantina en $a,b,c,d$ ? $$19a^3-33a^2b+3a^2c+30a^2d+21ab^2+24abc-12abd-15ac^2-54acd-30ad^2+ $$ $$2b^3-12b^2c-6b^2d+42bc^2+108bcd+60bd^2-7c^3-51c^2d-99cd^2-56d^3=0$$

Lamentablemente, Wolfram Alpha no puede entender mi entrada cuando introduzco esta ecuación, y no conozco ninguna estrategia para resolver este tipo de ecuaciones. Así que, básicamente, estoy atascado...

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Quiero sólo todos los valores posibles para $a,b,c,d$ como lo hace Wolfram Alpha.

Nota: $a\neq b\neq c\neq d\neq 0$

Answer 1

Como el OP señaló en los comentarios que la ecuación es equivalente a,

$$(a + 2c - 2b + 3d)^3 + (2a - b + 2c + 4d)^3 - (a + b + 2c + 2d)^3 - (3a - 2b+ c + 3d)^3 = 0$$

entonces al igualar los términos, su solución completa es,

$$\begin{aligned} a= -2 x_1 - 7 x_2 - 5 x_3 - 8 x_4\\ b=-6 x_1 + 5 x_2 - 2 x_3 + 2 x_4\\ c=9 x_1 - 14 x_2 - 10 x_3 - 3 x_4\\ d=-5 x_1 + 15 x_2 + 7 x_3 + 6 x_4 \end{aligned}$$

donde,

$$x_1^3+x_2^3+x_3^3+x_4^3 = 0$$

La solución racional completa de Euler es bien conocida.

Answer 2

Su ecuación es homogénea de grado $3$ Así que si $(a,b,c,d)$ es una solución también lo es $(ta,tb,tc,td)$ para cualquier $t$ . Por lo tanto, tiene sentido buscar primitivo soluciones, que son soluciones con el mayor común divisor $1$ . Encontré algunos $288$ soluciones primitivas con $a,b,c \in [-20\ldots -1, 1\ldots 20]$ y $d \in [1 \ldots 20]$ . No veo un patrón obvio. Aquí están algunas de esas soluciones:

$$ \matrix{ a & b & c & d\cr -4 & -1 & -8 & 1\cr -4 & 1 & -8 & 3\cr -3 & 1 & -7 & 3\cr -3 & 1 & 3 & 1\cr -3 & 5 & -1 & 4\cr -2 & 1 & -6 & 3\cr -2 & 1 & -4 & 2\cr -2 & 2 & -4 & 3\cr -2 & 3 & -4 & 4\cr -2 & 3 & 2 & 1\cr -2 & 4 & -4 & 5\cr -2 & 5 & -4 & 6\cr -1 & -1 & -5 & 4\cr -1 & 1 & -5 & 3\cr -1 & 2 & -3 & 3\cr -1 & 5 & 1 & 1\cr 1 & -2 & -1 & 2\cr 1 & -1 & -5 & 2\cr 1 & 1 & -3 & 3\cr 1 & 2 & -7 & 6\cr 2 & 1 & -2 & 3\cr 2 & 2 & 4 & 1\cr 2 & 3 & 4 & 2\cr 2 & 4 & 4 & 3\cr 2 & 5 & 4 & 4\cr 2 & 6 & 4 & 5\cr 3 & -4 & -7 & 1\cr 3 & 1 & -1 & 3\cr 3 & 2 & -5 & 6\cr 3 & 4 & -3 & 4\cr 4 & 3 & 8 & 1\cr 5 & 1 & 1 & 3\cr 5 & 2 & -3 & 6\cr 6 & 1 & 2 & 3\cr 7 & 1 & 3 & 3\cr 7 & 2 & -1 & 6\cr 8 & 1 & 4 & 3\cr }$$

¿Esos coeficientes provienen de algún lugar en particular o son simplemente arbitrarios?