Referencia para el cambio de base de la cohomología pull-push para intersecciones limpias.

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad orientada compacta, y $A$ y $B$ submanifolds orientados cerrados que se cruzan limpiamente. Entonces, siempre he tenido la impresión de que empujar una clase de cohomología de $A$ a $X$ y luego se retira de $B$ debería tener una fórmula de cambio de base en la que, en su lugar, se retrocediera a $A\cap B$ y empuja hacia adelante a $B$ .

Por supuesto, esto no podría ser correcto si $A$ y $B$ no son transversales. Creo que en el caso no transversal, se debe corregir por la clase de Euler del haz de exceso $T_{A\cap B}X/(T_{A\cap B}A+T_{A\cap B}B)$ .

Toda mi intuición para la topología algebraica me dice que esto es cierto y fácil de demostrar, pero por supuesto, uno no puede escribir eso en un papel.

¿Alguien conoce una referencia conveniente para este hecho? He tratado de encontrarlo a través de Google, pero aparentemente no puedo encontrar las palabras clave adecuadas, y una búsqueda rápida de Hatcher resultó negativa.

Answer 1

Disculpas si esto es demasiado tarde, pero la referencia canónica para esto es el artículo seminal de Quillen "Elementary proofs of some results of cobordism theory using Steenrod operations" Advances in Math. 7 1971 29--56 (1971). La prueba que se da allí es para el cobordismo complejo y es totalmente geométrica. Es de suponer que Quillen lo aprendió de Bott, que da una fórmula de intersección limpia en su artículo "Sobre la iteración de geodésicas cerradas y la teoría de la intersección de Sturm" Comm. Pure Appl. Math. 9 (1956), 171--206. Si está interesado en la generalización a las inmersiones, véase F. Ronga, "On multiple points of smooth immersions" Comment. Math. Helv. 55 (1980), no. 4, 521--527.