¿Cómo se puede encontrar todas las soluciones a $\cos(z)=0$ , donde $z\in \mathbb{C}$ ?
Tengo $$\cos(z)=0 \implies (e^{iz})^2=-1 \implies \text{Log}(e^{iz})=\text{Log}(e^{i\pi(1/2+2k)})\qquad\text{ where }k\in \mathbb{Z}$$
$$\implies ie^{-y}x=i\pi(1/2+2k)$$
$$\implies z= e^{y}\pi(1/2+2k)+iy \qquad\forall k\in \mathbb{Z}\;\text{ and }\;\forall y\in \mathbb{R}$$
¿Es esto correcto?
Gracias.
EDITAR:
$e^{2iz}=e^{i\pi(1+2k)} \Rightarrow z=\pi/2+k\pi$ donde $k\in \mathbb{Z}$
Los logaritmos son traicioneros. Es más seguro y fácil observar que estamos ante la ecuación $e^{iz}=-e^{-iz}$ . Sea $z=a+ib$ , donde $a$ y $b$ son reales. Entonces la norma de $e^{i(a+ib)}$ es $e^{-b}$ y la norma de $-e^{-iz}$ es $e^{b}$ . Si $b \ne 0$ las normas no coinciden.
Así que $z$ tiene que ser real, y estamos en territorio conocido.
No. La parte en la que pareces estar asumiendo $\log\mathrm e^{\mathrm iz}=\mathrm i\mathrm e^{-y}x$ se equivoca. Más bien, (el valor principal de) ese logaritmo es $\log\mathrm e^{\mathrm iz}=\mathrm iz$ . (El logaritmo natural es la inversa de la función exponencial).
También tienes un factor de $2$ erróneo en los argumentos en alguna parte, presumiblemente al tratar de resolver el cuadrado. Los posibles argumentos para los números cuyo cuadrado es $-1$ son $\pi\left(\frac12+k\right)$ sin el $2$ .
Entonces, comparando las partes reales e imaginarias se puede concluir que $x=\pi\left(\frac12+k\right)$ , $y=0$ .
Ya que sabes que $cos(z) = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ . Así que $\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}=0$ así ${e^{iz} + e^{-iz}} = 0$ Supongamos que dejas $u = e^{iz}$ . Ahora tiene $u + \frac{1}{u} = 0$ entonces $u^2 +1 =0$ Por lo tanto $(u-i) (u+i) = 0$ . Por lo tanto, $u=i$ o $u=-i$ . ahora volvemos a sustituir para conseguir $e^{iz}=i$ o $e^{iz}=-i$ tomando el logaritmo natural de ambos lados vemos que $e^{iz}=-i$ no puede ser una solución así $e^{iz}=i$ es una solución. Por lo tanto, $z= -iln(i)$ . por lo que el valor que satisface esta ecuación es cuando $z= -iln(i)$
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En resumen, no. Resulta que los únicos ceros complejos son los mismos que los reales. Introduce cualquier valor para tu y que no sea cero, y obtendrás un coseno distinto de cero.
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Las raíces del coseno son todas reales. Una forma de establecer esto es considerar las partes real e imaginaria de $\cos(x+iy)$ (pista: utiliza la fórmula de la adición y la relación entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas).