Demostrar que dos campos de eventos son independientes

Question

Dejemos que $A_{1,2,\cdots,n}\subset \Omega$ sean eventos independientes, y supongamos que $\{i_1,i_2,\cdots,i_k\},\{j_1,j_2,\cdots, j_s\}$ son subconjuntos disjuntos de $\{1,2,\cdots ,n\}$ ¿existe una forma sencilla y computacionalmente fácil de demostrar que $\sigma(A_{i_1},\cdots,A _{i_k})$ y $\sigma(A_{j_1},\cdots,A _{j_s})$ son campos independientes ( $\sigma$ -o, en nuestro caso, aún más simple, álgebras en realidad)? Aquí, por supuesto $\sigma(\cdot)$ denota el $\sigma$ -generada por los elementos entre corchetes.

La motivación es eliminar el dolor computacional en muchos casos. Ejemplo: dado $A,B,C,D$ independiente, con el resultado anterior puedo afirmar directamente que cosas como $A\cup B, C\cap D^c$ son independientes sin tener que esforzarse en verificarlos.

Hay una prueba que requiere el conocimiento de la v.r. independiente: se basa en el teorema que dice que si $X_{1,2,\cdots n}$ son v.r. independientes, y $\{i_1,i_2,\cdots,i_k\},\{j_1,j_2,\cdots, j_s\}$ son subconjuntos disjuntos de $\{1,2,\cdots ,n\}$ entonces para las funciones continuas $f,g$ tenemos $f(X_{i_1},\cdots,X _{i_k})$ y $g(A_{j_1},\cdots,A _{j_s})$ son v.r. independientes. El resultado se deduce si dejamos que $X_i:=1_{A_i}$ ya que la independencia entre eventos es equivalente a la independencia entre las funciones características correspondientes. Sin embargo, creo que hay otras formas que no implican en absoluto la v.r. ¿Podríais ilustrarme? Saludos cordiales.

Answer 1

La independencia de su $\sigma$ -campos se desprende de

Teorema . Dejemos que $(A_{i,j})$ sea una matriz de eventos independientes. Sea $\mathcal{F}_i$ sea el $\sigma$ -campo generado por los eventos en el $i^{th}$ fila de esta matriz. Entonces el $\mathcal{F}_i$ son independientes.

La prueba se encuentra en Billingsley (Corolario 2 del Teorema 4.2). Utiliza sólo el $\pi$ - $\lambda$ teorema y hechos elementales sobre eventos independientes, no variables aleatorias.