Expectativa de la matriz aleatoria semidefinida positiva

Question

Dejemos que $X$ sea una matriz cuadrada simétrica aleatoria. Supongamos que $X$ es semidefinida positiva con casi total seguridad. Supongamos también que la expectativa $E[X]$ existe. ¿Se deduce que $E[X]$ es semidefinido positivo?

Toda mi intuición me dice que esto debe ser cierto, pero se me escapa una prueba rigurosa.

Answer 1

Si $X$ es semidefinida positiva casi con seguridad, entonces para cualquier vector $\mathbf u$ tenemos ${\mathbf u}^{\mathsf T} X \mathbf u \ge 0$ casi seguro. Esto significa que $\mathbb E[{\mathbf u}^{\mathsf T} X \mathbf u] \ge 0$ y por linealidad de la expectativa ${\mathbf u}^{\mathsf T} \mathbb E[X] \mathbf u \ge 0$ . (La expresión ${\mathbf u}^{\mathsf T} X \mathbf u$ puede no ser lineal en $\mathbf u$ para un fijo $X$ pero es ciertamente lineal en $X$ para un fijo $\mathbf u$ .)

Dado que esto es válido para cualquier $\mathbf u$ , lo que significa que $\mathbb E[X]$ es semidefinido positivo.

Answer 2

Creo que la respuesta es sí. Supongamos que el espacio de probabilidad es $(\Omega,\mathcal{F},P)$ , donde $P$ es la medida de probabilidad asociada a $X$ y denota la dimensión de $X$ es $n$ es decir, $X\in R^{n\times n}$ . También denotamos $M\geq 0$ si $M$ es semidefinido positivo. Lo demostraremos en dos pasos.

Para el primer paso, por la propiedad lineal de la expectativa, obtenemos

$$\mathbb{E}f_{\omega}(v) = \mathbb{E}(v^TXv) = v^T(\mathbb{E}X) v$$

para cualquier $v\in R^n$ .

Ahora es el segundo paso. $X$ es semidefinido positivo con casi total seguridad $\Rightarrow$ $\exists A\subset \Omega$ , s.t. $P(A) = 1$ y $\forall \omega \in A$ , $X(\omega)\geq 0$ .

A continuación, fije un $\omega\in A$ por la definición de semidefinido positivo sabemos que $\forall v\in R^n$ tenemos $f_{\omega}(v) = v^TX(\omega)v\geq0$ (definimos $f_{\omega}(v) = v^TX(\omega)v$ ). Entonces (a veces omitimos $\omega$ y escribir $X(\omega)$ como $X$ )

$$\mathbb{E}f_{\omega}(v) = \int_{\Omega} v^TXv\ {\rm d}P = \int_{A} v^TXv\ {\rm d}P+ \int_{\Omega\setminus A} v^TXv\ {\rm d}P.$$

Desde $P(\Omega\setminus A) = 1-P(A) = 0$ tenemos $\int_{\Omega\setminus A} v^TXv\ {\rm d}P=0$ . Por lo tanto, lo que obtenemos es

$$\mathbb{E}f_{\omega}(v) = \mathbb{E} (v^TXv)=\int_{A} v^TXv\ {\rm d}P\geq 0,$$

desde $f_{\omega}(v) = v^TX(\omega)v\geq 0$ para $\omega\in A$ . En palabras, obtenemos $\mathbb{E}(v^TXv)\geq 0$ , $\forall v\in R^n$ .

Ahora, combinando los dos resultados, obtenemos

$$v^T(\mathbb{E}X) v = \mathbb{E}(v^TXv)\geq 0,\ \forall v\in R^n,$$

lo que implica que $\mathbb{E}X$ es semidefinido positivo.

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En resumen, acabamos de demostrar que

1. $v^T(\mathbb{E}X) v = \mathbb{E}(v^TXv)$ . Esto es trivial.

2. $\mathbb{E}(v^TXv)\geq 0,\ \forall v\in R^n$ . Aquí es donde la condición " $X\geq 0$ se utiliza "casi seguro".